Ряды Фурье. Преобразование Фурье

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
 
О.Ю. Чигирёва 
 
РЯДЫ ФУРЬЕ. 
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 
 
Методические указания  
к выполнению домашнего задания  
 
Под редакцией А.Н. Канатникова 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2010 

УДК 517.52 
ББК 22.161.5 
        Ч-58 
Рецензент Е.А. Власова 
Чигирёва О.Ю. 
Ч-58 
Ряды Фурье. Преобразование Фурье: метод. указания /  
О.Ю. Чигирёва ; под ред. А.Н. Канатникова. – М. : Изд-во 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 51, [1] с. : ил.  
 
Методические указания содержат краткий теоретический материал, необходимый для выполнения домашнего задания по теме 
«Ряды Фурье. Преобразование Фурье». Подробно разобраны примеры решения задач, а также приведены задачи для самостоятельной работы и условия домашнего задания. 
Для самостоятельной работы студентов 2-го курса, обучающихся по специальностям «Лазерные и оптико-электронные системы», «Оптико-электронные приборы научных исследований». 
                                                                                                      УДК 517.52 
ББК 22.161.5 
Учебное издание 
 
Чигирёва Ольга Юрьевна 
 
РЯДЫ ФУРЬЕ. 
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 
Редактор О.М. Королева 
Корректор Г.С. Беляева 
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой 
Подписано в печать 11.10.2010. Формат 60×84/16. 
Усл. печ. л. 3,02. Тираж 300 экз. Изд. № 27. Заказ 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

и 
1. РЯДЫ ФУРЬЕ 
1.1. Ряды Фурье по ортогональным системам 
Определение. Евклидовым пространством E  называют линейное пространство, в котором задано скалярное умножение, т. е. 
правило, ставящее в соответствие каждой паре элементов 
,
f g
E

 
число 

,
f g , называемое скалярным произведением и удовлетворяющее аксиомам скалярного умножения: 
1) 



,
,
f g
g f

; 
2) 




,
,
,
f
g
f
g



; 
3) 



,
,
,
f g
f g


; 
4) 

,
0
f f

, причем 

,
0
f f

 только при 
0.
f 
 
Для любых элементов 
,
f g
E

 справедливо неравенство Коши – Буняковского: 





2
,
,
,
f g
f f
g g

. 
Мерой величины элементов линейного пространства является 
норма. 
Определение. Функцию, заданную на линейном пространстве 
L  и ставящую в соответствие каждому элементу f
L

 действительное число f , называют нормой, если она удовлетворяет следующим аксиомам нормы: 
1) 
0
f 
, причем 
0
f 
 только при 
0;
f 
 
2) 
,
f
f


; 
3) f
g
f
g



 (неравенство треугольника). 
Определение. Линейное пространство, в котором задана норма, называют нормированным пространством. 
 
3

Евклидово пространство E  можно рассматривать как нормированное пространство, если задать в нем норму исходя из скалярного умножения: 


,
f
f f

, 
.
f
E

 
Такую норму называют евклидовой нормой. 

Определение. Последовательность 

1
n n
f
 элементов нормированного пространства L  называют сходящейся по норме к элементу f
L

, если 
lim
0
n
n
f
f



. 
При этом элемент f  называют пределом последовательно
сти 

1
n n
f
 в нормированном пространстве L  и используют следующее обозначение: 
lim
.
n
n
f
f


 
В нормированном пространстве L  сохраняются основные 
свойства сходящихся последовательностей: 
1) предел f
L

 сходящейся по норме последовательности 


1
n n
f

 единственный; 

2) если последовательность 

1
n n
f
 сходится по норме к элементу f
L

, то и любая ее подпоследовательность также сходится 
к элементу 
;
f  


3) если последовательности 

1
n n
f
 и 

1
n n
g
 сходятся по 

норме в L , а числовая последовательность 

1
n n


 является схо

дящейся, то последовательности 

1
n
n n
f
g


 и 

1
n
n n
f


 также 
сходятся по норме в L , и справедливы следующие равенства: 


lim
lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
f
g
f
g






, 
 
4 



lim
lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
f
f






. 

Определение. Пусть 

1
n n
f
 — последовательность элементов 

f
нормированного пространства L. Выражение вида 
1
n
n


 называют рядом элементов нормированного пространства L , а сумму 
1
2
,
,
n
n
S
f
f
f
n






 называют n-й частичной суммой 
этого ряда. 

f
Определение. Ряд 
1
n
n


 элементов нормированного пространства L называют сходящимся по норме в L, если в L схо
дится последовательность 

1
n n
S
 его частичных сумм. При этом 
предел S
L

 последовательности частичных сумм называют 
суммой ряда. 
Определение. Два элемента 
,
f g
E

 называют ортогональными, если 

,
0.
f g 
 

Определение. Последовательность 

1
n n


 ненулевых элементов евклидова пространства E  называют ортогональной системой, если элементы этой последовательности попарно ортогональны. 

Утверждение. Пусть 

1
n n


 — ортогональная система в евклидовом пространстве 
.
E  Если элемент f
E

 может быть представлен в виде сходящегося ряда 



 
1
,
n
n
n
f


то коэффициенты 
n
 этого ряда определяются по формуле 


f
n





 
2
,
,
.
n
n
n
 
5

Определение. Ряд 


 с коэффициентами 


f
c



 
1
n
n
n
c


2
,
,
n
n
n
,
n называют рядом Фурье элемента f
E

 по ортогональной 
системе 

1
n n



, а числа 
n
c  называют коэффициентами Фурье 

элемента f
E

 по системе 

1
n n


. 
Пусть 

1
n
k
k

 — ортогональная система в евклидовом пространстве E  и элемент 
.
f
E

 Поставим следующую задачу: при 
заданном n определить, при каких значениях коэффициентов 
n
,
1,
k
k
n



 линейная комбинация 


 имеет наименьшее 
1
k
k
k
отклонение от элемента 
,
f
E

 т. е. при каких значениях 
n
,
1, ,
k k
n


 величина 



 достигает своего минимума. 
k
k
k
f
1

Вычислим квадрат нормы этой величины: 
2
n
k
k
k
f
k
k
k
k
k
k
f
f
1




1
1
,
n
n















. 
В силу аксиом скалярного умножения имеем 
2
n
k
k
k
f
k
k
k
k
m
m
k
k
m
f f
f
1






1
1
1
,
2
,
,
n
n
n

























 
k
k
k
k
m
m
k
k
m
f f
f




1
1
1
,
2
,
,
n
n
n



















. 
Замечая, что 

2
,
k
k
k
f
c



, где 
k
c  — коэффициенты Фурье 
элемента 
,
f
E

 и учитывая ортогональность системы 

1
n
k
k

, 
получаем 
 
6