Ряды Фурье

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.Ю. Аникин, А.С. Савин, В.Я. Томашпольский
РЯДЫ ФУРЬЕ
Методические указания
к выполнению типового расчета
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 517.52
ББК 22.161.1
А68
Рецензент Д.А. Приказчиков
А68
Аникин А. Ю.
Ряды Фурье : метод. указания к выполнению типового расчета / А.Ю. Аникин, А.С. Савин, В.Я. Томашпольский. — М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. — 32, [5] с. : ил.
Изложены основы теории по тригонометрическим рядам Фурье,
включая сходимость рядов Фурье в среднем квадратичном, теорема Дирихле о поточечной сходимости, приближение функций тригонометрическими полиномами. Рассмотрены стандартные примеры и
примеры повышенной сложности. Приведены задачи для самостоятельного решения. Даны условия задач типового расчета.
Для студентов, изучающих ряды Фурье и их приложения.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.52
ББК 22.161.1
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ВВЕДЕНИЕ
Пособие посвящено рядам Фурье, членами которых являются
тригонометрические функции. Такие ряды (наряду со степенными) играют важную роль в математике и различных ее приложениях. Они применяются для нахождения сумм числовых рядов, для
аппроксимации функций, для решения краевых задач математической физики и т. д.
Впервые тригонометрические ряды Фурье были использованы в работах французского математика Ш. Фурье, хотя формулы
для коэффициентов тригонометрического ряда встречались ранее
в трудах Л. Эйлера. В дальнейшем теория тригонометрических
рядов развивалась в работах Б. Римана, Л. Дирихле, У
. Дини и др.
Читатель должен быть знаком со степенными рядами Тейлора.
Важно отметить, что степенные ряды дают хорошее приближение
функции лишь локально (т. е. около центра разложения). Приведем
конкретный пример. Функция f(x) = sin x, как известно, может
быть представлена в виде ряда Тейлора — Маклорена:
sin x =
n=1
(−1)n−1
x2n−1
(2n −1)!,
(1)
∞

который абсолютно сходится всюду на R. Однако вычисления показывают, что при x = 2π
n=1
(−1)n−1
x2n−1
n=1
(−1)n−1
x2n−1
(2n −1)! ≈46,55;
(2n −1)! ≈3,19,
5

11

в то время как точное значение функции равно нулю. Для достижения точности 0, 01 нужно брать слагаемые ряда (1), вплоть до
n = 19.
3