Решение краевых задач для уравнения Лапласа

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Е.С. Тверская, О.Ю. Чигирева
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДА
Ч
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Методические указания
к выполнению домашнего задания
по курсу «Уравнения математической физики»
Под редакцией А.Н. Канатникова
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2009

УДК 517.946
ББК 22.311
Т26
Рецензент А.В. Аттетков
Т26
Тверская Е.С.
Решение краевых задач для уравнения Лапласа : метод. указания к выполнению домашнего задания по курсу «Уравнения
математической физики» / Е.С. Тверская, О.Ю. Чигирева. – М. :
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 48 с.: ил.
Методические указания содержат краткий теоретический материал,
необходимый для выполнения домашнего задания по курсу «Уравнения математической физики» Подробно разобраны примеры решения
задач, а также приведены задачи для самостоятельной работы и условия домашнего задания.
Для самостоятельной работы студентов 2-го курса, обучающихся
по специальностям «Радиоэлектронные системы и устройства», «Технологии приборостроения», «Защита информации».
УДК 517.946
ББК 22.311
Учебное издание
Тверская Елена Сергеевна
Чигирева Ольга Юрьевна
РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДА
Ч ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Редактор В.М. Царев
Корректор
М.А. Василевская
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 10.08.2009. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 2,79. Тираж 500 экз. Изд. №6.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

1. КРАЕВЫЕ ЗАДА
ЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
1.1. Уравнение Лапласа
Для описания стационарных процессов в физикe обычно используют уравнения эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа
Δu = 0,
где Δ — дифференциальный оператор 2-го порядка, называемый
оператором Лапласа.
К этому уравнению приводят задачи о стационарном тепловом
состоянии однородного тела, равновесном распределении электрических зарядов на поверхности проводника, установившемся движении несжимаемой жидкости и многие другие.
В прямоугольной декартовой, цилиндрической и сферической
системах координат оператор Лапласа соответственно имеет вид
Δ = ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 + ∂2
∂z2 ,
Δ = 1
r
∂
∂r
∂z2 ,
∂ϕ2 + ∂2

r ∂
∂r

+ 1
r2
∂2
Δ = 1
r2
∂
∂r
∂
∂θ
∂ϕ2 .

sin θ ∂
∂θ

+
1
r2 sin2 θ
∂2

r2 ∂
∂r

+
1
r2 sin θ
1.2. Гармонические функции и их свойства
Функция u ∈C2(Ω) называется гармонической в области Ω,
если она удовлетворяет уравнению Лапласа в этой области.
Перечислим основные свойства гармонических функций.
3

Свойство 1. Если гармоническая в ограниченной области Ω
функция u ∈C1(Ω), то
∂u
∂ndσ = 0,
⃝
ZZ
Σ
где Σ — гладкая поверхность, ограничивающая область Ω; −
→
n —
внешняя нормаль к Σ.
Свойство 2 (Теорема о среднем значении). Если функция
u является гармонической в шаре ΩM0,R радиуса R с центром
в точке M0 и непрерывна в замыкании ΩM0,R, то ее значение в
центре шара равно среднему значению по сфере ΣM0,R:
u(P) dσ.
u(M0) =
1
4πR2 ⃝
ZZ
ΣM0,R
Свойство 3 (Принцип максимума). Если функция u ̸≡const
является гармонической в ограниченной области Ω и непрерывна
вплоть до ее границы, то она достигает своего наибольшего и
наименьшего значений только на границе Σ этой области.
С л е д с т в и е. Если функция u является гармонической в
ограниченной области Ω и u ∈C

Ω


, то
|u(M)| ⩽max
P∈Σ |u(P)|,
M ∈Ω,
где Σ — граница области Ω.
В частности, если функция u принимает на границе Σ области
Ω постоянное значение, равное нулю, то эта функция тождественно равна нулю во всей области Ω.
1.3. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа
Краевая задача для уравнения Лапласа состоит в нахождении
функции u, удовлетворяющей в области Ω уравнению Лапласа и
некоторому условию, заданному на границе Σ этой области. Такое условие называют граничным
и в зависимости от его вида
рассматривают следующие краевые задачи:
– первую краевую задачу, или задачу Дирихле, если задано граничное условие 1-го рода
u|Σ = f(P),
P ∈Σ;
4

– вторую краевую задачу, или задачу Неймана, если задано
граничное условие 2-го рода
∂u
∂n
Σ
= g(P),
P ∈Σ;
– третью краевую задачу, если задано граничное условие 3-го
рода

αu + ∂u
∂n
Σ
= h(P),
P ∈Σ.
Здесь f(P), g(P), h(P) и α(P) ⩾0 (α(P) ̸≡0) — функции, заданные на границе Σ области Ω; −
→
n — внешняя нормаль к Σ.
Обобщением основных краевых задач является смешанная краевая задача, в которой на разных частях границы Σ заданы граничные условия разных видов. Например, на одной части границы
Σ задано граничное условие 1-го рода, а на другой ее части —
граничное условие 2-го или 3-го рода.
Если область, в которой поставлена краевая задача, ограничена, то эта задача называется внутренней. Если эта область является частью пространства, лежащей вне некоторой ограниченной
области, то краевая задача называется внешней, при этом помимо
граничного необходимо задать условие, описывающее поведение
искомой функции на бесконечности.
Далее основное внимание будет уделено вопросу о единственности решений первой и второй краевых задач, но прежде сформулируем их.
Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в ограниченной области Ω функцию u ∈C(Ω), принимающую на ее границе Σ заданные непрерывные значения f(P), P ∈Σ.
Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в ограниченной области Ω функцию u ∈C

Ω


, имеющую на ее границе
Σ заданную непрерывную нормальную производную g(P), P ∈Σ.
Приведенные здесь формулировки внутренних краевых задач
относятся как к трехмерному, так и двумерному случаям. А в постановках внешних краевых задач есть различия, связанные с условием, задающим поведение искомой функции на бесконечности.
Внешняя задача Дирихле (в пространстве): найти гармоническую в области Ω0 = R3\Ω функцию u ∈C

Ω0


, принимающую
5