Основные интегралы невозмущенного движения и уравнение Кеплера

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Ю.Н. Разумный, Д.О. Школьников
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
И УРАВНЕНИЕ КЕПЛЕРА
Рекомендовано Научнометодическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
по курсу «Теория космического полета»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011

УДК 629.783
ББК 39.68
Р17
Рецензенты: В.В. Малышев, В.П. Казаковцев
Разумный Ю.Н.
Р17
Основные интегралы невозмущенного движения и урав@
нение Кеплера: учеб. пособие по курсу «Теория космического
полета» / Ю.Н. Разумный, Д.О. Школьников. – М.: Изд@во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 38, [2] с. : ил.
Рассмотрены вопросы получения основных интегралов дифферен@
циальных уравнений невозмущенного движения космических аппара@
тов, проведен анализ уравнения Кеплера для различных типов орбит
космических аппаратов, даны описания численных методов решения
уравнения Кеплера и их сравнительный анализ.
Для студентов старших курсов технических вузов, обучающихся по
специальности «Динамика полета и управление движением ракет и кос@
мических аппаратов».
УДК 629.783
ББК 39.68
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011
2

ВВЕДЕНИЕ
При решении ряда задач космической баллистики рассматрива@
ется невозмущенное движение космического аппарата (КА), проис@
ходящее в центральном поле тяготения одного притягивающего тела
(планеты, Солнца и т. д.). В учебном пособии получены основные
интегралы дифференциальных уравнений невозмущенного движе@
ния КА, проведен анализ уравнения Кеплера для различных типов
орбит КА, описаны различные численные методы решения уравне@
ния Кеплера, выполнен сравнительный анализ этих методов. Учеб@
ное пособие предназначено для самостоятельной проработки части
теоретического материала и выполнения домашних заданий по дис@
циплине «Теория космического полета» студентами старших курсов
технических вузов, обучающихся по специальности «Динамика по@
лета и управление движением ракет и космических аппаратов».
1. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ НЕВОЗМУЩЕННОГО
ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
Пусть центр масс КА движется в центральном поле притягива@
ющего тела, массу которого полагаем сосредоточенной в точке М
(рис. 1.1). Уравнение движения центра масс КА в центральном гра@
витационном поле притягива@
ющего тела в абсолютной гео@
центрической экваториальной
системе координат (АГЭСК)
имеет вид
μ
→
jгр = – —
— 
→
r ,                (1.1)
r 3
где 
→
jгр – вектор ускорения дви@
жения центра масс КА как тела
Рис. 1.1. К определению уравнения
движения центра масс КА
3

единичной массы; μ – гравитационная постоянная притягивающего
тела.
Выражения для круговой и параболической скоростей записы@
вают через гравитационную постоянную μ притягивающего тела:
μ             μ
Vкр =    r0 jгр =     r0 —
— =     —
—;
(1.2)
r0
2            r0
2μ
Vпар =   2Vкр =     —
—.
(1.3)
r0
Спроектировав уравнение (1.1) на оси координат АГЭСК, полу@
чим следующую систему дифференциальных уравнений:
..
x + —
μ
r 3
— x = 0;
..
y + —
μ
r 3
— y = 0;
(1.4)
..
z + —
μ
r 3
— z = 0.
Умножим третье уравнение системы (1.4) на y и вычтем из него
второе уравнение, умноженное на z:
..
zy + —
μ
r 3
— zy – ..
yz – —
μ
r 3
— yz = 0.
Отсюда получим, что  ..
zy – ..
yz = 0, —
d
dt
— (y .
z – z.
y) = 0.
Проинтегрируем последнее выражение:
y .
z – z .
y = C1.
(1.5)
Умножим первое уравнение системы (1.4) на z и вычтем из него
третье уравнение, умноженное на x:
..
xz + —
μ
r 3
— xz – ..
zx – —
μ
r 3
— zx = 0.
4