Операционное исчисление

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
О.Д. Алгазин, Т.А. Бутина, В.М. Дубровин
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Методические указания
к выполнению типового расчета
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 517.3
ББК 22.161
А45
Рецензент А.В. Копаев
А45
Алгазин О.Д.
Операционное исчисление : метод. указания / О.Д. Алгазин,
Т.А. Бутина, В.М. Дубровин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. – 49, [3] с. : ил.
Представлены теоретические сведения об операционном исчислении и рассмотрены примеры решения задач из домашнего задания по
темам: нахождение изображений и оригиналов, решение интегральных уравнений типа свертки, решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами.
Приведены 25 вариантов условий домашнего задания. Для решения
некоторых задач требуется применение систем компьютерной математики, например системы Maple.
Для студентов 2-го курса всех специальностей, изучающих операционное исчисление.
УДК 517.3
ББК 22.161
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ВВЕДЕНИЕ
Операционное исчисление строится на основе интегрального
преобразования Лапласа. Это линейное интегральное преобразование (линейный оператор) отображает одно множество функций
в другое, при этом операциям дифференцирования и интегрирования соответствуют более простые операции умножения и деления
на комплексное число p. После применения преобразования Лапласа линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами переходит в алгебраическое. Решив это
алгебраическое уравнение и применив обратное преобразование
Лапласа, получают решение исходного дифференциального уравнения.
Преобразование Лапласа применяется также для решения линейных дифференциальных уравнений с частными производными
и интегральных уравнений типа свертки.
Для нахождения прямого и обратного преобразований Лапласа
можно использовать таблицы или системы компьютерной математики, например cистему Maple.

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО СВОЙСТВА
Доказательства теорем, которые приводятся в этом разделе, см.
в книгах [1]—[3].
1.1. Прямое и обратное преобразования Лапласа. Оригиналы
и изображения
Пусть f(t) — комплекснозначная функция действительного переменного t, ее преобразованием Лапласа называется функция комплексного переменного p
F(p) =
f(t)e−ptdt = L(f(t), t, p).
(1.
.1)
∞

0
Функции f(t) называются оригиналами, а функции F(p) — их
изображениями (по Лапласу). Соответствие между ними обозначают
f(t) ≓F (p) .
Для существования интеграла (1.1) достаточно, чтобы оригиналы удовлетворяли следующим условиям:
1) f(t) ≡0 при t < 0;
2) функция f(t) интегрируема на любом конечном промежутке
действительной оси и имеет на нем конечное число точек разрыва;
3) функция f(t) возрастает не быстрее показательной функции,
т. е. существуют такие постоянные M > 0 и s ≥0, что выполняется
неравенство
|f(t)| < Mest.
4

Нижняя грань таких чисел s называется показателем роста
функции f(t),
s0 = inf {s} .
Для ограниченных функций показатель роста s0 = 0. Приведем
примеры оригиналов:
1) H(t) =
 1, t > 0,
0, t < 0
— единичная функция Хевисайда, пока4) H(t)e
√
t, показатель роста s0 = 0, поскольку e
затель роста s0 = 0;
2) H(t)sin t, показатель роста s0 = 0;
3) H(t)ep0t, показатель роста s0 = Re p0 > 0, так как

ep0t
 = es0t;
√
t < est для
любого s > 0, начиная с некоторого t, а нижняя грань положительных чисел равна нулю.
Обычно подразумевается, что оригиналы на отрицательной полуоси обращаются в нуль, и вместо указанных выше функций пишут 1, sin t, ep0t, e
√
t.
Если оригинал f(t) удовлетворяет перечисленным выше условиям, то его изображение F(p) является аналитической функцией
в полуплоскости Rep > s0 и удовлетворяет условию
lim
Rep→+∞F(p) = 0.
При этом функция F(p), возможно, аналитически продолжается в
более широкую область. Например, изображение функции Хевисайда
∞
1 ≓
0
= 1
p
∞

0
e−ptdt = e−pt
−p




является аналитической функцией в полуплоскости Rep > 0, но
аналитически продолжается во всю комплексную плоскость за исключением точки p = 0, где она имеет простой полюс.
Функция
ep0t ≓
∞

0
e−(p−p0)tdt =
1
p −p0
5

является аналитической функцией в полуплоскости Rep > Rep0 =
= s0, но аналитически продолжается во всю комплексную плоскость за исключением точки p = p0, где она имеет простой полюс.
Найти оригинал по изображению можно с помощью обратного
преобразования Лапласа (формула обращения).
Теорема 1.1. Если функция f(t) является оригиналом и F(p)
служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности
eptF(p)dp =
f(t) =
1
2πi
eptF(p)dp = lim
b→+∞
a+i∞

a+ib

a−i∞
a−ib
= L−1 (F(p), p, t) ,
(1.
.2)
где интеграл берется вдоль любой прямой Rep = a > s0.
Для того чтобы функция комплексного переменного F(p) была
изображением, достаточно выполнения следующих условий.
Теорема 1.2. Если функция F(p) является аналитической в
полуплоскости Rep > s0, стремится к нулю при |p| →∞в любой
полуплоскости Rep ≥a > s0 равномерно относительно arg p и
интеграл
F(p)dp
a+i∞

a−i∞
абсолютно сходится, то F(p) является изображением функции
eptF(p)dp.
f(t) =
1
2πi
a+i∞

a−i∞
1.2. Свойства преобразования Лапласа
Пусть
f(t) ≓F(p), g(t) ≓G(p), . . .
Перечислим
основные
свойства преобразования Лапласа.
1. Л и н е й н о с т ь. Для любых комплексных чисел α и β
αf(t) + βg(t) ≓αF(p) + βG(p).
6