Одношаговые методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Р.Х. Хасаншин, А.П. Шахорин, А.В. Косогоров
ОДНОШАГОВЫЕ
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ЗАДА
ЧИ КОШИ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Методические указания
к выполнению лабораторных работ
и подготовки к экзамену
по курсу «Вычислительная физика»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 519.2
ББК 22.193
Х24
Рецензент Т.А. Митюшкина
Х24
Хасаншин Р.Х.
Одношаговые методы численного решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений : метод. указания к выполнению лабораторных работ и подготовки к экзамену по курсу «Вычислительная физика» / Р.Х. Хасаншин, А.П.
Шахорин, А.В. Косогоров. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. — 59, [1] с. : ил.
Рассмотрены основы теории разностных методов решения задачи
Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «Техническая физика».
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 519.2
ББК 22.193
Учебное издание
Хасаншин Рашид Хусаинович
Шахорин Александр Петрович
Косогоров Александр Викторович
ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДА
ЧИ КОШИ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Редактор О.М. Королева
Корректор
Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 06.06.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 3,49. Тираж 200 экз. Изд. №12.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу методических указаний положены конспекты лекций
первой части спецкурса «Вычислительная физика», читаемого студентам, обучающимся по специальности «Техническая физика» в
МГТУ им. Н.Э. Баумана.
В настоящее время при исследовании какого-либо физического
явления все чаще прибегают к использованию вычислительного
эксперимента, основанного на построении и анализе с помощью
ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Один из этапов вычислительного эксперимента заключается в составлении доступной для реализации на ЭВМ численной модели, являющейся
интерпретацией математической модели.
Знакомство с разностными аппроксимациями дифференциальных задач в курсе «Вычислительная физика» начинается с рассмотрения простейших методов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В методических указаниях изложены основы одношаговых методов численного решения таких задач.
В приложениях приведены физические задачи, решение которых сводится к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Кроме того, предложен список литературы, в котором читатель
может найти более подробные сведения по заинтересовавшим его
методам [1—12].
Цель методических указаний — ознакомить студентов с некоторыми основами численных методов.

1. ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Многие задачи физики, естествознания, техники при их математическом моделировании сводятся к решению дифференциальных уравнений.
До обсуждения численных методов решения дифференциальных задач и введения основных понятий разностных схем напомним некоторые элементарные сведения из функционального анализа и курса дифференциальных уравнений.
1.1. Элементарные понятия функционального анализа
В этом подразделе рассмотрены элементарные основы теории
метрических, топологических и нормированных пространств, линейных пространств и функционалов и операторов на них.
К определению понятия метрического пространства можно
прийти, обобщая представления о действительных числах как о
множестве, в котором введено расстояние между элементами.
Метрическим пространством называют пару (X, ρ), состоящую из некоторого множества (пространства) X элементов (точек)
и расстояния между его элементами — однозначной, неотрицательной действительной функции ρ(x, y), определенной для любых
x, y ∈X и удовлетворяющей следующим условиям:
1) ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;
2) ρ(x, y) = ρ(у, х) (аксиома симметрии);
3) ρ(x, z) ⩽ρ(x, у) + ρ(y, z) (неравенства треугольника).
Приведем примеры метрических пространств.
Пример 1.1. Множество действительных чисел R с расстоянием ρ(x, y) = |x −у| между его элементами (x, у ∈R) образует
метрическое пространство.
4

Пример 1.2. Множество C[a, b] всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке [a, b] с расстоянием
между его элементами h(x) и g(x)
ρ(h, g) = max
a⩽x⩽b |h(x) −g(x)| ,
также образует метрическое пространство.
Пример 1.3. Рассмотрим, как и в примере 1.2, совокупность
всех непрерывных на отрезке [a, b] функций — множество C[a, b],
но с расстоянием между его элементами h(x) и g(x)
ρ(h, g) =
b

a
[h(x) −g(x)]2dx.





2
⩽
Такое метрическое пространство называют пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой. В этом случае условия
1 и 2 метрического пространства удовлетворяются, а условие 3 следует из интегральной формы неравенства Коши — Буняковского
⎛
⎞
b

b

b

a
h(x) g(x)dx
a
h2(x)dx
a
g2(x)dx.
⎝
⎠
Открытым (замкнутым) шаром B(x0, r) в метрическом пространстве называют совокупность точек x ∈X, удовлетворяющих
условию
ρ(x, x0) < r (ρ(x, x0) ⩽r),
где x0 — центр шара; r — радиус шара.
Множество A ⊂X называют ограниченным, если оно содержится целиком в некотором шаре.
Точку x ∈X называют точкой прикосновения множества A ⊂
⊂X, если ее любая окрестность содержит хотя бы одну точку
из X. Совокупность всех точек прикосновения множества A называют замыканием этого множества и обозначают [A]. Операция
замыкания (переход от множества A к множеству [A]) обладает
следующими свойствами:
1) A ⊂[A] ;
2) [[A]] = [A] ;
5

3) если A ⊂B, то и [A] ⊂[B];
4) [A ∪B] = [A] ∪[B].
Множество A называют замкнутым, если оно совпадает со
своим замыканием [A], т. е. A ⊂[A].
Рассмотрим примеры замкнутых множеств.
Пример 1.4. Любой отрезок [a, b] числовой прямой R есть
замкнутое множество.
Пример 1.5. Замкнутый шар является замкнутым множеством.
В частности, в пространстве C[a, b] множество функций h, удовлетворяющих условию |h(x)| ⩽M, замкнуто, а множество функций g, удовлетворяющих условию |g(x)| < M (открытый шар), не
замкнуто.
Пример 1.6. Любое множество, состоящее из конечного числа
точек, замкнуто.
Пример 1.7. Каково бы ни было метрическое пространство X,
пустое множество ⊘и все пространство X замкнуты.
Точку x ∈X называют предельной точкой множества A ⊂X,
если любая ее окрестность содержит бесконечное количество точек из A. Предельная точка может принадлежать, а может и не
принадлежать A.
Точку x0 ∈A называют изолированной точкой множества A,
если существует окрестность этой точки, в которой нет точек из
A, отличных от x0.
Пусть x1, x2, x3, . . . — последовательность точек в метрическом пространстве X. Говорят, что эта последовательность {xn}
сходится к точке x, если любая окрестность Oε(x) точки x содержит все точки xn, начиная с некоторой точки этой последовательности. Это определение можно сформулировать и следующим образом: последовательность {xn} сходится к точке x, если
lim
n→∞ρ(x, xn) = 0.
Последовательность {xn} точек в метрическом пространстве
X называют фундаментальной, если она удовлетворяет условию
Коши, т. е. если для любого ε > 0 существует число Nε, такое, что
ρ(xk, xm) < ε для всех k > Nε и m > Nε. Из неравенства треугольников следует, что любая сходящаяся последовательность фундаментальна. Метрическое пространство X, в котором сходится любая фундаментальная последовательность, называют полным.
6