Многомерный статистический анализ

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
Г.Д. Карташов, В.И. Тимонин, Л.М. Будовская 
 
МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ  
АНАЛИЗ 
 
Методические указания  
к выполнению курсовой работы 
М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 7 

УДК 519.2 
ББК 22.172 
К27 
Рецензент В.Ю. Чуев 
Карташов Г.Д., Тимонин В.И., Будовская Л.М. 
К27 
Многомерный статистический анализ: Методические указа- 
ния к выполнению курсовой работы. – М.: Изд-во МГТУ  
им. Н.Э. Баумана, 2007. – 48 с.: ил.  
 
Изложены основные понятия и методы статистического анализа многомерных результатов технических экспериментов. Приведены теоретические сведения о свойствах многомерных гауссовских распределений.  
Для студентов старших курсов факультета фундаментальных наук. 
Ил. 2. Библиогр. 5 назв. 
УДК 519.2 
ББК 22.172 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007 

 
ВВЕДЕНИЕ 
Основное внимание в пособии уделяется методам анализа 
зависимостей между многомерными величинами, наблюдаемыми в ходе эксперимента. Результатом эксперимента, рассматриваемого в пособии, является случайный вектор, распределенный 
по нормальному закону. Приводятся методы обработки статистических данных, наиболее часто используемые в промышленности и науке.  
При усвоении материала (особенно в разд. 6) требуется определенный навык работы с матрицами. Предполагается также, что 
студенты знают такие базовые понятия, как несмещенность, состоятельность и эффективность точечных оценок неизвестных параметров; размер критерия, его критическая область и др.  
Некоторые математические сведения, необходимые для понимания выкладок, содержатся в приложении. Для наглядного представления получаемых результатов рекомендуется пользоваться 
пакетами SAS или «STATISTICA», изучение которых входит в 
спецкурс «Статистические программные комплексы». 
 
3

 
1. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 
1.1. Многомерная нормальная плотность 
Часто результатом эксперимента является совокупность чисел, 
характеризующая некоторый исследуемый объект. 
Например, при обследовании пациентов в больнице у них могут измерять температуру тела (
1
ξ ) и артериальное давление (
2
ξ ). 
Ясно, что у различных пациентов пара (
1
2
,
ξ
ξ ) принимает различные значения, поэтому с полным основанием можно говорить о 
случайном векторе 
1
2
(
,
).
ξ = ξ
ξ
G
 
Определение 1.1. Случайный вектор размерности p  ξ =
G
 
(
)
1
2
,
,
,
p
= ξ ξ
ξ
…
 называется нормальным (гауссовским), если его 
совместная плотность распределения имеет вид
 
G
G
G
G
…
  (1.1) 
(
)
(
)
1
1
/ 2
1
1
,
,
exp
,
2
2
p
p
f x
x
x
D
x
D
−
′
⎛
⎞
=
−
−μ
−μ
⎜
⎟
⎝
⎠
π
 
(
)
(
)
где 
(
)
1,
,
p
x
x
x
′
=
G
…
 – вектор аргументов; 
(
)
1,
,
p ′
μ = μ
μ
G
…
 – некотоG
рый числовой вектор; D  – симметричная, положительно-определенная матрица; «'» – знак транспонирования; D  – определитель 
матрицы . 
В дальнейшем всегда под вектором будем понимать векторстолбец. Кроме того, для краткости совместную плотность будем 
обозначать 
( ).
f x
G
 Запись в виде ξ
~
(
)
,
N
D
μ
G
 означает, что вектор 
ξ
G
 имеет p-мерное нормальное распределение. 
 
4

Теорема 1.1. Вектор μ
G  состоит из математических ожиданий 
компонент вектора 
,
ξ
G
 матрица D  является матрицей ковариаций 
 т. е. 
компонент ,
ξ
G
1
E
E
E
D
E
2
;
,
 
(
)(
)
G
G
G
G
G
G
#
 
 (1.2) 
E
p
ξ
 
 
 
 
ξ
′
 
 
ξ =
= μ
=
ξ −μ ξ −μ
 
 
 
 
ξ
 
 
где Е – знак математического ожидания. 
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть η
G  – случайный вектор, 
B
b
ξ =
η+
G
G
G
 – 
линейное преобразование 
,
η
G  где B  – квадратная матрица размеL
ров 
;
p
p
×
 b
 – числовой вектор. Обозначим 
,
D
D
ξ
η  матрицы ковариаций 
,
.
ξ η
G G  В пособии [1] показано, что векторы средних 
,
E
μ =
ξ
G
G
 
E
ν =
η
G
G  и матрицы ковариаций 
,
D
D
ξ
η  связаны соотношениями 
G
G
G
 
(1.3) 
 
;
.
B
b
D
BD B
η
ξ
μ =
ν +
=
′
Матрица D  из (1.2) – симметричная, положительно-определенная, поэтому справедливо ее представление [2] 
,
D
C C′
=
Λ
 где C  – 
ортогональная матрица, составленная из собственных векторов матрицы 
;
D  Λ  – диагональная матрица с собственными числами 
0
i
λ >
 
матрицы D  по главной диагонали. Рассмотрим преобразование  
 
 ( )
(
)
1/ 2
,
L x
C
x
−
′
= Λ
−μ
G
G
G
 
(1.4) 
1/ 2
,
0,
;
1/
,
1, .
ij
ij
ii
i
i
j
i
p
−
Λ
= λ
λ =
≠
λ =
λ
=
 
где 
{
}
Пусть 
( )
L
η =
ξ
G
G
 – случайный вектор. Совместная плотность его 
компонент 
,
1,
i i
p
η
=
, определенная по общим правилам (см. приложение), равна 
 
5