Функциональные ряды

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»
С.О. Карданов
Функциональные ряды
Учебно-методическое пособие

УДК	 517.52
ББК	 22.161
	
К21
Издание доступно в электронном виде по адресу
ebooks.bmstu.press/catalog/109/book1988.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Высшая математика»
Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Карданов, С. О.
К21	 	
Функциональные ряды : учебно-методическое пособие / С. О. Карданов. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2019. — 50, [ ] с. : ил. 
6
ISBN 978-5-7038-5110-4
Изложены основные определения и теоремы по теории функциональных рядов. Рассмотрены подробные решения типовых задач по 
данной теме, что поможет студентам овладеть навыками решения задач 
по функциональным рядам. Приведены задания для самостоятельного 
решения.  
Для студентов 2-го курса технических специальностей МГТУ 
им. Н.Э. Баумана. 
УДК 517.52
ББК 22.161
	
©	МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019
	
©	Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-5110-4	
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2019

Предисловие
Издание соответствует программе дисциплины «Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление» и 
посвящено функциональным рядам, которые изучаются в 1-м модуле на 2-м курсе бакалавриата (направления: 15.03.03 «Прикладная 
механика»; 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов и 
производств»).
Целью данного учебно-методического пособия является формирование у студентов познавательных действий в процессе изучения основ функциональных рядов и практического применения 
соответствующих методов исследования функциональных рядов 
для вычисления приближенных значений функций, интегралов, 
решения дифференциальных уравнений и как итог достижения 
цели — успешное выполнение заданий для самостоятельного решения. 
После изучения материала данного учебно-методического пособия студенты освоят методы исследования функциональных рядов, овладеют навыками решения дифференциальных уравнений, 
а также смогут применить полученные знания на практике. 
Предлагаемое издание состоит из четырех разделов. В первом 
рассмотрены функциональные ряды для действительных функций 
общего вида. Представлены основные определения и теоремы применительно к одному из основных вопросов теории функциональных рядов — вопросу об области сходимости функционального 
ряда. Подробно разобраны примеры по установлению области 
сходимости заданных функциональных рядов.
Второй раздел посвящен функциональным рядам специального 
вида — так называемым степенным рядам. Даны основные теоретические сведения и подробные решения задач по данной теме.
В третьем разделе изложены способы разложения функций в 
степенные ряды (ряды Б. Тейлора и К. Маклорена) и некоторые 
вопросы применения степенных рядов в приближенных решениях задач. По этим темам также разобраны задачи с подробными 
решениями.
3

В четвертом разделе приведены задания для самостоятельного 
решения. Задания сгруппированы в тематические блоки по 30 вариантов задач, что позволит студенту при решении задач каждого 
из этих блоков обращаться к соответствующему теоретическому 
материалу. В задании 1 требуется найти области абсолютной сходимости заданных функциональных рядов. Задание 2 содержит задачи на определение области сходимости данных степенных рядов. 
В задании 3 нужно разложить заданные функции в степенные ряды 
в окрестностях указанных точек. Задания 4 и 5 содержат задачи на 
применение степенных рядов. 
Задания должны быть выполнены и оформлены согласно требованиям, предъявляемым кафедрой.
Пособие полезно студентам, изучающим теорию функциональных рядов.

Введение
Теория рядов (числовых, функциональных, тригонометрических) 
является одной из основных тем в математическом образовании 
инженера.
Издание посвящено функциональным рядам. Понятие ряда 
было известно еще ученым Древней Греции. Как самостоятельное понятие ряд вошел в математику в 17 в. Формальная теория 
рядов успешно развивалась в 18–19 вв. в работах Я. и И. Бернулли, 
Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа 
и других. Точная, математически строгая теория рядов была создана в 19 в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Г. Римана и 
других. И. Ньютон и Г. Лейбниц использовали ряды для решения 
уравнений как алгебраических, так и дифференциальных. 
Ряды широко используются в математике и ее приложениях, 
как в теоретических исследованиях, так и при приближенных численных решениях задач. Их применяют для вычисления приближенных значений функций, интегралов, решения всевозможных 
уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных). 
Многие числа могут быть записаны в виде специальных рядов, с 
помощью которых удобно вычислять их приближенные значения 
с нужной точностью. 
Предложенный вариант «деления» функциональных рядов в 
данном пособии на функциональные ряды для действительных 
функций общего вида и функциональные ряды специального 
вида — степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена) поможет 
студенту лучше изучить тему и освоить ряды в целом. Знания, полученные при изучении материалов пособия, могут быть использованы как при решении задач в математике, так и в ее приложениях. 

1. Функциональные ряды общего вида
1.1. Основные понятия
Определение 1.1. Пусть задана бесконечная последовательность 
действительных функций u
x
u
x
u
x
n
1
2
( )
( )
( )
,
, ...,
, ...
Тогда выражение вида
 	
u
x
u
x
u
x
u
x
n
1
2
3
( )+
( )+
( )+
+
( )+
...
...,  	
(1.1)
составленное из членов данной последовательности, называется 
функциональным рядом. При этом u
x
u
x
u
x
n
1
2
( )
( )
( )
,
, ...,
, ... называют членами ряда: u
x
1 ( )  — первый член, u
x
2 ( )  — второй член и 
т. д.; u
x
n ( ) называют n-м или общим членом ряда.
∞
( )
∑
1
, где n приРяд (1.1) можно сокращенно записать как 
u
x
n
n
=
нимает целочисленные значения от 1 до ∞ (нумерацию членов ряда 
иногда удобнее начинать не с единицы, а с нуля или с какого-либо натурального числа, большего единицы).
Примерами функциональных рядов могут служить:
1) 1
2
3
∞
∑
e
e
e
e
e
x
x
x
nx
nx
n
...
...
;
0
+
+
+
+
+
+
=
=
2) 1
2
1
1
∞
∑
x
x
x
x
n
n
1
+
+
+
+
+
=
−
−
n
...
...
;
=
∞
∑
2
3
1
3) ln
ln
ln
...
ln
...
ln
.
x
x
x
nx
nx
n
+
+
+
+
+
=
=
Для того чтобы задать ряд, достаточно указать правило, по которому можно найти любой его член.
Определение 1.2. Областью определения функционального ряда (1.1) 
называется пересечение областей определения его членов.
∞
Так, областью определения ряда 
enx
 является вся числовая 
∑
0
n=
∞
 совпадает с множе∑
1
прямая. Область определения ряда 
ln nx
n=
ством положительных чисел.
6