Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду

Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана 
(национальный исследовательский университет)»
С.Н. Ефремова, А.В. Косова, Т.А. Ласковая
Приведение уравнений кривых 
и поверхностей второго порядка 
к каноническому виду
Учебно-методическое пособие

УДК 512.64
ББК 22.143
Е92
Издание доступно в электронном виде по адресу
ebooks.bmstu.press/catalog/122/book1868.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Математическое моделирование»
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
 
Ефремова, С. Н.
Е92 
 
Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду : учебно-методическое пособие / 
C. Н. Ефремова, А. В. Косова, Т. А. Ласковая. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 48, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4966-8
Издание предназначено для выполнения домашнего задания по теме 
«Приложение квадратичных форм» модуля 1 «Линейная алгебра» дисциплины «Линейная алгебра и функции нескольких переменных». Кратко изложен теоретический материал, необходимый при решении задач, 
акцентировано внимание на этапах построения канонической системы 
координат, рассмотрены типовые примеры. Подробные пояснения и 
рисунки помогут обучающимся успешно выполнить домашнее задание.
Для бакалавров и специалистов всех специальностей факультетов 
«Информатика и системы управления», «Радиоэлектроника и лазерная 
техника», «Биомедицинская техника» МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
УДК 512.64
ББК 22.143
©	МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
© Оформление. Издательство 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
ISBN 978-5-7038-4966-8

Предисловие
Учебно-методическое пособие подготовлено в помощь студентам при выполнении домашнего задания составлено в соответствии с учебной программой дисциплины «Линейная алгебра 
и функции нескольких переменных» (модуль 1 «Линейная алгебра») для бакалавров и специалистов всех специальностей факультетов «Информатика и системы управления», «Радио-электроника и лазерная техника», «Биомедицинская техника» МГТУ 
им. Н Э. Баумана. Пособие входит в комплекс учебно-методических материалов, предназначенных для самостоятельного выполнения домашнего задания «Приведение уравнений кривых и поверхностей к каноническому виду». 
В пособии кратко изложен теоретический материал, необходимый при выполнении домашнего задания, описаны этапы построения канонической системы координат, рассмотрены типовые примеры, даны подробные пояснения, приведены рисунки. Разобран 
один из алгоритмов решения, который в течение многих лет излагается на лекциях по курсу «Линейная алгебра и функции нескольких переменных» в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Цели и задачи пособия соответствуют программе дисциплины 
и заключаются в помощи студентам при выполнении домашнего 
задания по теме «Приложение квадратичных форм». 
Материалы, включенные в пособие, необходимы студентам для 
овладения компетенциями, предусмотренными образовательной 
программой. 
Пособие состоит из четырех разделов, каждый из которых содержит рекомендации для студентов по планированию самостоятельной работы при выполнении домашнего задания и вопросы 
для самопроверки.
В первый раздел включены материалы для закрепления знаний 
и навыков, полученных при первоначальной подготовке студентов, 
а также теоретические сведения, необходимые для решения задач.
 
3

Второй и третий разделы посвящены рассмотрению задач приведения кривых и поверхностей к каноническому виду. В этих разделах описаны постановка задачи, подробный план решения и даны справочные материалы в форме таблиц.
Четвертый раздел содержит подробный разбор типового варианта индивидуального домашнего задания по теме «Приложение 
квадратичных форм» и описание комплекса мер, позволяющих его 
выполнить. Представлена структура домашнего задания, приведены формулировки задач, описаны этапы выполнения домашнего 
задания, даны рекомендации по его оформлению и указаны требования к отчету. Кроме того, в этом разделе описаны критерии оценки качества выполнения домашнего задания и процедура оценивания в соответствии с указанными критериями оценки и количеством 
рейтинговых баллов.
Планируемые результаты обучения: 
знание основных понятий линейной алгебры, таких как линейные операторы, собственные числа, собственные векторы, квадратичные формы, преобразования координат векторов, преобразования квадратичных форм; 
умение анализировать ход решения задачи, применять аппарат 
линейной алгебры к решению геометрических задач, выстраивать 
логическую цепочку рассуждений и высказываний, формулировать 
выводы, оценивать полученные результаты; 
овладение методами и приемами математического и логического рассуждения при самостоятельном решении геометрических задач приведения уравнений кривой и поверхности к каноническому 
виду, а также приемами регулярной самостоятельной проработки 
и освоения модулей дисциплины, поиска и использования дополнительных источников информации при решении нестандартных 
задач.

1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Цель данного раздела — закрепление знаний и навыков, полученных на занятиях. В результате студенты должны уметь записывать матрицу квадратичной формы, находить ее собственные числа и собственные векторы, приводить квадратичную форму к 
каноническому виду ортогональным преобразованием и получать 
матрицу перехода от исходного базиса к каноническому, а также 
записывать уравнения преобразования координат при переходе от 
одного базиса к другому.
Определение 1.1. Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от n переменных x
xn
1,...,
 с действительными коэффициентами:
n
1
2
ϕ(
,...,
)
,
x
x
a x
a x x
n
ii
i
ij
i
j
1
1
2
=
+
i
j n
i
≤< ≤
=
∑
∑
                (1.1)
где aij ∈,  причем хотя бы один из коэффициентов a
i
j
n
ij 1≤≤
≤
(
)
отличен от нуля.
Также квадратичную форму можно рассматривать как функцию ϕ:
,
L →  заданную в n-мерном линейном пространстве L, 
значения которой определены через x
xn
1,...,
 — координаты вектора x в некотором фиксированном базисе. Можно записать 

квадратичную форму в матричном виде: ϕ(
,...,
)
,
x
x
x Ax
n
T
1
=
 где 

x
x
A
a
1

 
,  
.
ij
=




= (
)



x
n


Кроме координатной формы записи (1.1) существует матричный 

A
a
вид записи квадратичной формы: x Ax
T
, где x
x
ij
=

1

,  
— 



= (
)



x
n


 
5

симметрическая матрица порядка n, называемая матрицей квадратичной формы.
Ранг матрицы А квадратичной формы называется рангом квадратичной формы. Если Rg A
n
= , то квадратичная форма называется невырожденной, если Rg A
n
< , то квадратичная форма вырожденная.
Пример 1.1. Является ли квадратичная форма ϕ(
,
,
)
x
x
x
1
2
3 =  
2
2
1
3
x
x
x x
x
x x  вырожденной?
=
−
+
+
+
3
4
2
6
1
2
2
1
2
3
Решение. Запишем квадратичную форму в матричном виде:
1


.
=

1
2
3
1
2
3
2





,   где А =
−



 ϕ(
,
,
)
(
)
x
x
x
x
x
x
A
x
x
x
3
2
3
2
1
0
3
0
2




3
Определим ранг матрицы А. Для этого приведем матрицу А к 
ступенчатому виду элементарными преобразованиями:





A =
−









3
2
3
2
1
0
3
0
2
1
3
3
0
7
6
0
2
1
1
3
3
0
1
3
0
0
5
∼
∼

⇒
=
Rg A
3.


−
−
−
−






Следовательно, квадратичная форма невырожденная. Вообще 
говоря, можно было вычислить определитель матрицы А. Если он 
отличен от нуля, то квадратичная форма невырожденная, в противном случае — вырожденная. В нашем случае det A = −+
−
=
6
9
8
 
= −≠
5
0.
Рассмотрим линейное пространство L с двумя базисами e  и ′
e .  
Пусть невырожденная матрица U
U e
e
=
→′  — матрица перехода от 
e  к ′
e .  Тогда изменение базиса e  на ′
e  в линейном пространстве 
приводит к линейной замене переменных x  на 
′
x ,  которые связаны зависимостью x
Ux
=
′.  При этом матрицу квадратичной формы в новом базисе находят по формуле
A
U
A U
e
e
e
T
e
e
e
′
→′
→′
=
.                                   (1.2)
Пример 1.2. В базисе e
e e
= ( ,
)
1
2 пространства  2  квадратичная 
форма имеет вид ϕ(
,
)
.
x
x
x
x x
x
1
2
1
2
1
2
2
2
5
2
=
+
−
 Найти вид этой квадратичной формы в новом базисе (
,
).
′ =
−
′ =
−
e
e
e
e
e
e
1
1
2
2
1
2
2
 
6