Основы теории вероятностей и математической статистики. Материалы для подготовки к семинарским занятиям

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»
Н.М. Меженная, И.А. Рудаков
Основы теории вероятностей  
и математической статистики
Материалы для подготовки 
к семинарским занятиям
Учебно-методическое пособие

УДК 519.2
ББК 22.17
М43
Издание доступно в электронном виде по адресу
ebooks.bmstu.press/catalog/93/book1849.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Прикладная математика»
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
 
Меженная, Н. М.
М43 
 
Основы теории вероятностей и математической статистики. Материалы для 
подготовки к семинарским занятиям : учебно-методическое пособие / Н.  М.  Ме- 
женная, И. А. Рудаков. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2018. —  117, [3] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4917-0
Издание содержит базовые теоретические сведения из следующих разделов теории вероятностей и математической статистики: вычисление вероятностей случайных событий, случайные величины и их характеристики, предельные теоремы, методы описания и обработки выборочных данных, точечные и интервальные оценки 
параметров распределений, проверка гипотез, простая регрессия.
Приведены примеры решения задач и задачи для самостоятельной подготовки.
Для самостоятельной подготовки к семинарским занятиям студентов всех специальностей факультетов «Специальное машиностроение» и «Робототехника и комплексная автоматизация».
УДК 519.2
ББК 22.17
ISBN 978-5-7038-4917-0
©	МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
©	Оформление. Издательство 
	
МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2018 

Предисловие
В учебно-методическом пособии представлен материал для самостоятельной подготовки студентов к семинарским занятиям по дисциплине «Основы 
теории вероятностей и математической статистики». 
Пособие написано на базе материалов семинарских занятий, проводимых 
в МГТУ им. Н.Э. Баумана, и предназначено для студентов факультетов «Специальное машиностроение» (СМ) и «Робототехника и комплексная автоматизация» (РК), начинающих изучать теорию вероятностей и математическую 
статистику, а также для тех, кто изучал ее ранее, но нуждается в повторении. 
Пособие может быть использовано при выполнении текущего и обязательного домашних заданий, подготовке к защите домашнего задания и рубежному контролю, а также к экзамену.
Используемый в пособии математический аппарат базируется на стандартном вузовском курсе высшей математики. При этом предполагается, что 
студенты владеют основными знаниями из курсов математического анализа 
и линейной алгебры.
Цель пособия — представление основных методов и способов решения задач по теории вероятностей и математической статистике.
После изучения материала пособия студенты будут знать основные законы теории вероятностей и математической статистики, способы решения задач по наиболее важным разделам курса, а также уметь применять формулы 
и законы теории вероятностей при решении задач, в том числе возникающих 
в их профессиональной деятельности. Предполагается, что при самостоятельной проработке материала пособия приобретаются навыки, позволяющие 
применять аналитические методы теории вероятностей и математической 
статистики к решению актуальных задач науки и техники.
Пособие состоит из трех глав, разделенных на параграфы. В каждом параграфе содержатся примеры решения задач по теме, вынесенной в заголовок 
параграфа, задачи для самостоятельной подготовки с подробными ответами.
Пособие снабжено дополнительными иллюстративными материалами в виде презентаций в формате pdf. Ссылки на них в тексте представлены в рамках. 
Контрольные вопросы, приведенные в конце глав, относятся к материалу 
всей главы.
Глава 1 содержит необходимые теоретические сведения и примеры решения задач, связанных с различными способами вычисления вероятностей 
случайных событий, а именно с применением формул комбинаторики, полной вероятности, Байеса и др. 

В главе 2 рассмотрены задачи, связанные с одномерными и двумерными 
случайными величинами. Обсуждаются вопросы задания распределений одномерных и многомерных дискретных и непрерывных случайных величин, 
определения их числовых характеристик, применения закона больших чисел 
и центральной предельной теоремы. 
В главе 3 содержатся основы математической статистики. Описаны способы представления выборочных данных, точечные и интервальные оценки 
параметров распределений, способы проверки статистических гипотез; рассмотрены основы простой линейной регрессии. 
В приложении даны таблицы математической статистики распределений; 
имеется предметный указатель.
В каждом параграфе кроме разобранных задач и задач для самостоятельной подготовки содержатся сведения теоретического характера, часть утверждений приведена с доказательствами. Это необходимо в методических целях, 
так как выводы формул и утверждений поясняют и иллюстрируют методы, 
применяемые при решении задач. Однако при беглом ознакомлении с материалом пособия студенты могут пропускать доказательства и сразу приступать к решению задач. Также в пособии приведены темы семинарских занятий, указано число часов, отводимых на аудиторную и самостоятельную 
работу.
Нумерация параграфов, теорем, утверждений, замечаний, примеров, рисунков и формул в пособии поглавная. Большинство примеров сформулировано в виде задач. Для удобства восприятия в начале и в конце их решения 
указаны символы соответственно ▲ и ▼. По аналогии доказательства теорем 
и утверждений ограничены знаками □ и  ■. Задачи повышенной сложности 
отмечены звездочкой (*), а задачи и темы, которые могут быть пропущены 
при ознакомлении или изучении необходимого минимума материала, — символом .

Принятые обозначения
 — множество натуральных чисел
 — множество действительных чисел
n! — факториал числа n
[ , ] [ , ]
a b
c d
×
— декартово произведение отрезков [a, b] и [c, d ]
Г( )
z
— гамма-функция Эйлера
P — вероятность
P( )
A
— вероятность события A
P( / )
A B
— условная вероятность события A при условии наступления события B
F
t
X
t
X ( )
{
}
=
<
P
— функция распределения случайной величины X
M X
— математическое ожидание случайной величины X
DX — дисперсия случайной величины X
Ф( )
x
— функция Лапласа
ϕ( )
x
— плотность вероятности стандартного нормального 
закона
Pn — число перестановок
k — число сочетаний без повторений
Cn
S n
( ) — распределение Стьюдента с n степенями свободы
2 — распределение хи-квадрат с n степенями свободы
χ n
(
;
)
k
k
1
2
— распределение Фишера с k1 и k2 степенями свободы
uα — квантиль уровня α функции Лапласа
χ
α
n;
2
— квантиль уровня α распределения хи-квадрат с n степенями свободы
tn; α — квантиль уровня α распределения Стьюдента с n степенями свободы
tn; α
±
— двусторонний квантиль уровня α распределения Стьюдента с n степенями свободы
fk
k
1
2
;
; α — квантиль уровня α распределения Фишера с k1 и k2 
степенями свободы

Введение
На практике часто встречаются опыты, результат которых невозможно 
предсказать до их проведения. Самый простой пример — бросание игральной кости или монеты. Если рассматриваемое случайное явление носит массовый характер, т. е. эксперимент может быть повторен большое число раз 
при одних и тех же условиях и независимо от повторения к повторению, то 
такие случайные явления подчиняются определенным закономерностям, которые изучает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей 
 
изучает числовые характеристики случайных явлений, которые принято называть случайными величинами. Рассматриваются их возможные значения, 
законы, в соответствии с которыми эти значения выпадают, а также «средние» значения. Ввиду массового характера явлений не менее важно прогнозировать и то, как будут вести себя эти величины при неограниченно большом числе повторений эксперимента.
Первые работы по теории вероятностей относятся к XVII в., однако даже 
в Древнем мире были известны определенные статистические законы. В настоящее время невозможно представить область знания, в которой не применялись бы результаты теории вероятностей. Кроме того, важно отметить 
тесную связь теории вероятностей с практикой.
Разработкой методов, позволяющих по результатам обследования делать 
обоснованные заключения о характере наблюдаемой случайной величины, 
занимается математическая статистика. Эта наука также возникла в XVII в. 
и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Методы математической 
статистики используются в тех случаях, когда требуется изучить распределение большой совокупности предметов по некоторому признаку, например 
распределение множества людей по возрасту и т. д. Задача математической 
статистики состоит в том, чтобы по имеющимся данным построить и верифицировать вероятностную модель, которая описывала бы полученные данные с определенной степенью точности.

Темы семинарских занятий
Специалисты: СМ-1, СМ-2, СМ-4, СМ-6, СМ-8, СМ-9, СМ-10, СМ-12, РК-4.
Бакалавры: СМ-7, СМ-11, СМ-13.
Модуль 1. Случайные события. Случайные величины
Аудиторная работа (8 ч)
Семинар 1. Классическое определение вероятности, случайные события. 
Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения. 
Семинар 2. Формулы полной вероятности и Байеса. Схема испытаний 
Бернулли.
Семинар 3. Случайные величины и их законы распределения. Числовые 
характеристики случайных величин. 
Семинар 4. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. 
 
Гипергеометрическое распределение. Равномерное, показательное и нормальное распределения. 
Самостоятельная работа (24 ч)
Подготовка к семинарам — 2 ч.
Выполнение текущего домашнего задания — 4 ч.
Самостоятельная проработка учебников и учебных пособий по прочитанному материалу — 9 ч.
Выполнение домашнего задания № 1 — 6 ч.
Подготовка к рубежному контролю по модулю 1 — 3 ч.
Распределение аудиторной и самостоятельной работы  
по семинарам
Номер семинара
Аудиторная работа, ч
Самостоятельная работа, ч
1, 2, 3, 4
2
6
Модуль 2. Предельные теоремы. Элементы математической статистики
Аудиторная работа (8 ч)
Семинар 5. Двумерные случайные величины и их характеристики.
Семинар 6. Функции от одномерных и двумерных случайных величин. 
7

Семинар 7. Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра — Лапласа. Понятие о законе больших чисел и предельных теоремах. 
Семинар 8. Построение точечных и интервальных оценок для нормального распределения. 
Самостоятельная работа (24 ч)
Подготовка к семинарам — 2 ч.
Выполнение текущего домашнего задания — 5 ч.
Самостоятельная проработка учебников и учебных пособий по прочитанному материалу — 8 ч.
Выполнение домашнего задания № 2 — 6 ч.
Подготовка к рубежному контролю по модулю 2 — 3 ч.
Распределение аудиторной и самостоятельной работы 
 по семинарам
Номер семинара
Аудиторная работа, ч
Самостоятельная работа, ч
5, 6, 7, 8
2
6

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. Определения вероятности
1.1.1. Основные понятия
В жизни часто встречаются ситуации, когда результат проводимого опыта (испытания, наблюдения) нельзя предсказать заранее с полной уверенностью. Так, при бросании монеты нельзя точно сказать, какой стороной она 
упадет, при покупке лотерейного билета нельзя точно знать, выпадет ли на 
него выигрыш, при раздаче карт нельзя знать определенно, сколько козырей 
окажется у игрока в руках. Во всех таких ситуациях результат опыта рассматривают как случайное событие.
Здесь будем использовать следующее определение.
Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если оно может как наступить, так и не наступить в результате проведения данного опыта.
Примерами случайных событий являются: присутствие нечетного числа 
студентов на лекции, выпадение герба при бросании монеты, выигрыш при 
игре в лотерею, попадание в цель при выстреле и т. д.
Перечисленные события могут произойти в опытах, которые можно повторить (в принципе) неограниченное число раз (подсчитать количество студентов 
на лекции, подбросить монету, купить лотерейный билет, произвести выстрел).
Случайные события, которые могут наступить в таких опытах, называются массовыми.
Примером немассового (единичного) события является такое случайное 
событие: 15 мая 2018 г. будет дождь. Это событие немассовое, поскольку данный опыт воспроизвести еще раз невозможно, — 15 мая 2018 г. наступает 
только один раз.
Предметом теории вероятностей является изучение закономерностей, 
присущих массовым случайным событиям.
Такую закономерность иллюстрирует опыт с бросанием игрального кубика, на гранях которого написаны числа от 1 до 6. Исход каждого бросания является случайным событием. Однако средний результат при большом числе 
испытаний утрачивает случайный характер, становится закономерным. 
 
Например, доля выпадений единицы (т. е. отношение числа выпадений единицы 
к общему числу бросаний) с увеличением числа бросаний приближается к 1/6.
9

Условимся обозначать случайные события заглавными латинскими буквами.
Два случайных события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же 
опыте. Несколько случайных событий несовместны, если они попарно 
несовместны.
Пример 1.1. Опыт состоит в бросании игрального кубика. Событие А — 
выпадение четного числа очков. Событие В — выпадение пятерки. Очевидно, что события A  и B  несовместны.
Два случайных события называются совместными в данном опыте, 
если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Пример 1.2. Опыт и событие A  те же, что в примере 1.1. Событие C  — 
выпадение числа, делящегося на три. События A  и C  совместны, поскольку могут произойти одновременно при выпадении шестерки.
Через A  обозначим событие, заключающееся в том, что событие A  
не произошло. Событие A  называется противоположным событию A .
Пример 1.3. Производится один выстрел по мишени. Событие A  — попадание в мишень. Тогда A  — это промах.
Суммой A
B
+
 двух случайных событий A  и B  называется случайное 
событие, которое состоит в том, что произошло хотя бы одно из событий — A  или B .
Пример 1.4. Стрелок производит два выстрела по мишени. Событие A  — 
попадание при первом выстреле, событие B  — попадание при втором выстреле. Тогда событие A
B
+
 состоит в попадании хотя бы при одном выстреле.
Произведением A B
⋅
 двух случайных событий A  и B  называется событие, состоящее в том, что в результате данного опыта события A  и 
B  наступают одновременно.
Пример 1.5. В ящике лежат бракованные и годные детали, изготовленные 
на заводах № 1 и № 2. Опыт состоит в извлечении наугад одной детали из 
ящика. Случайное событие A  — появление годной детали, событие B  — извлечение детали, изготовленной на заводе № 1. Тогда событие A B
⋅
 состоит 
в извлечении годной детали, изготовленной на заводе № 1. 
Пример 1.6 (игра в покер). Игроку раздается пять карт. Событие A  состоит в получении пяти последовательно идущих по старшинству карт (например, восьмерка, девятка, десятка, валет, дама). Эта комбинация называется 
10