Теория случайных процессов

Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана 
(национальный исследовательский университет)»
Н.М. Меженная
Теория случайных процессов
Курс лекций

УДК 519.21
ББК 22.171
М43
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/33/book1835.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Прикладная математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
 
Меженная, Н. М.
М43 
 
Теория случайных процессов : курс лекций / Н. М. Меженная. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2018. — 76, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4900-2
Представлен подробный конспект лекций по дисциплине «Теория 
случайных процессов». Приведены основные понятия стохастического 
анализа, необходимые сведения о спектральных характеристиках стационарных случайных процессов, их преобразовании при воздействии 
линейного оператора, о марковских случайных процессах. В пособии 
наряду с классическими представлениями содержится информация 
о современном уровне исследований в данной области.
Для студентов факультета «Специальное машиностроение» МГТУ 
им. Н.Э. Баумана.
УДК 519.21
ББК 22.171
ISBN 978-5-7038-4900-2
©	МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
©	Оформление. Издательство 
	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

Предисловие
Издание, представляющее собой курс лекций по дисциплине 
«Теория случайных процессов», предназначено для студентов инженерных специальностей, начинающих изучать теорию случайных 
процессов, а также для тех, кто изучал ее ранее, но нуждается в повторении. Учебное пособие рассчитано на студентов, владеющих 
основными знаниями из курсов математического анализа, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного и теории 
вероятностей. 
В основу пособия положен материал лекций, читаемых автором 
в МГТУ им. Н.Э. Баумана для студентов старших курсов.
Используемый в пособии математический аппарат базируется 
на стандартном курсе высшей математики, поэтому книга может 
быть полезна широкому кругу читателей.
Пособие состоит из пяти глав. Все главы снабжены подробным 
обсуждением вводимых понятий и иллюстративными примерами. 
Глава 1 содержит основные понятия теории случайных процессов (семейства конечномерных распределений, числовые характеристики и т. д.), поясняющие примеры и задачи. Приведена классификация основных типов случайных процессов, которые будут 
рассмотрены в курсе в дальнейшем. 
Глава 2 посвящена элементам стохастического анализа, таким 
как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость случайного процесса, и их практическому применению. 
В главе 3 содержатся основы спектральной теории применительно к случайным процессам с непрерывным спектром, а также 
решается задача о нахождении числовых характеристик случайного процесса при прохождении через динамическую систему. 
В главе 4 рассматриваются марковские случайные процессы с 
дискретными состояниями и дискретным временем — цепи Маркова. Описан алгебраический способ исследования их точных и 
предельных распределений. 
 
3

В главе 5 изучаются марковские процессы с непрерывным временем и дискретными состояниями. Для них выводится система 
дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний. Последний параграф посвящен элементам теории массового обслуживания.
Нумерация параграфов, утверждений, рисунков и формул в 
каждом параграфе своя. Каждый пример заканчивается симво- 
лом . 
В результате ознакомления с материалом учебного пособия у 
читателя вырабатываются знания основных понятий и определений 
теории случайных процессов, а также их качественных и количественных характеристик, умения вычислять и анализировать эти 
характеристики, навыки по применению аналитических методов теории случайных процессов к решению актуальных задач науки и 
техники.

Введение
Теория случайных процессов — раздел математики, изучающий 
закономерности случайных явлений, которые зависят от времени. 
Объектом изучения являются математические модели процессов, 
подверженных влиянию случайных факторов, в динамике. В наиболее простом случае, когда имеется дискретный шаг по времени, 
случайный процесс представляет собой последовательность случайных величин, возможно, зависимых друг от друга. Если время 
изменяется непрерывно, то случайный процесс представляет собой семейство случайных величин, например:
1) процесс колебаний курсов валют;
2) изменение координат частицы, совершающей броуновское 
движение;
3) колебания напряжения в электрической схеме;
4) изменение численности популяции определенного вида.
Первые основательные исследования по теории случайных процессов относятся к середине XIX в. Они были связаны с изучением финансовых рынков, страхованием и процессами броуновского движения. Один из самых известных примеров — процессы 
Гальтона — Ватсона. Это тип случайных процессов, моделирующий число потомков определенной фамилии. Позднее процессы 
подобного рода стали называть ветвящимися (термин был предложен А.Н. Колмогоровым). Сейчас ветвящиеся процессы и их различные модификации используются для исследования большого 
числа реальных явлений. Описанный тип случайных процессов — 
лишь один частный случай из большого многообразия случайных 
процессов, исследованных к настоящему моменту. 
Быстрое развитие теории случайных процессов связано в первую очередь с необходимостью исследования различных явлений 
и процессов, которые в той или иной степени подвержены влиянию случайных факторов, во всех областях знания: в физике, инженерии, экономике, социологии и т. д. В настоящее время в связи с интенсивным совершенствованием компьютерной техники и 
 
 
5

появлением новых данных наблюдается качественный скачок в 
развитии теории случайных процессов и их аналитических методов. Это обусловливает большое количество типов моделей случайных процессов и их свойств. 
В настоящем курсе даются базовые сведения об основных типах случайных моделей. Это позволит читателю в дальнейшем хорошо ориентироваться в многообразии моделей при решении конкретных задач и находить необходимые дополнительные сведения.
 

1. Основные понятия теории случайных процессов
1.1. Случайный процесс, сечение и траектория
Тройка ( ,
, )
ΩP , состоящая из пространства элементарных исходов Ω, сигма-алгебры событий  и вероятностной меры P, 
носит название вероятностного пространства*.
Случайной величиной называется действительная измеримая 
функция ξ
ξ ω
= ( )  от элементарного исхода ω, т. е. для любого действительного значения x ∈  
ω ξ ω
: ( ) <
{
} ∈
x
.
Обобщением этого понятия являются понятия случайной функ- 
ции и случайного процесса. 
Пусть T  — параметрическое множество. Случайная функция 
ξ ω
t( ) — это семейство случайных величин, зависящее от параметра t
T
∈.  Далее будем записывать {
( )}
ξ ω
t
t T
∈. Если параметр t  интерпретируется как время, то случайную функцию называют случайным процессом. В этом случае говорят, что T  — временной 
интервал. Обычно T = { , , ,
}
0 1 2 …  или T =
+ ∞
[ ,
).
0
 В первом случае 
будем говорить о случайном процессе с дискретным временем, во 
втором — о случайном процессе с непрерывным временем.
Случайная величина ξ ω
t( ) при фиксированном значении параметра t  называется сечением случайного процесса. Неслучайная функция ξ ω
t( ) от параметра t  при фиксированном элементарном исходе ω  называется траекторией, или реализацией, случайного процесса. 
В дальнейшем для краткости вместо ξ ω
t( ) будем записывать ξt .
Поясним описанные выше понятия на примере.
Пример 1.1 
Пусть η
η
1
2
,
,…  — независимые одинаково распределенные 
случайные величины с рядом распределения
*См.: Меженная Н.М. Основы теории вероятностей и математической 
статистики: курс лекций по дисциплине «Основы теории вероятностей и математической статистики». М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 110 с. Гл. I. 
 
7

−1
0
1
ηi
, 0
1 2
1
2
≤
≤
= −
p
q
p
/ ,
. 
p
q
p
P
Определим случайный процесс с дискретным временем 
t
t
=
∈
=
0
1 2
0
,
{ , ,
},
.
…
 
ξ
η
ξ
t
j
0
j
=
∑
При t =1  сечение случайного процесса ξ1 — это случайная величина с тем же законом распределения, что и η1. При t = 2  имеем ξ
η
η
2
1
2
=
+
 и ряд распределения сечения будет иметь вид
2
1
0
1
2
−
−
ξ 2
.
2
2
2
2
2
2
2
+
P
p
pq
q
p
pq
p
Аналогично
3
2
1
0
1
2
3
−
−
−
ξ3
.
3
2
2
3
3
2
2
3
2
3
3
3
3
6
3
3
3
+
+
+
P
p
p q
pq
p
q
p q
pq
p
p q
p
Таким образом, мы нашли законы распределения сечений при 
t =1 2 3
, , . Аналогично можно записать закон распределения при 
t = 4 5
, ,…. 
Зафиксировав значения случайных величин η η
1
2
,
,
,
…  получим 
траекторию случайного процесса ξt . 
График одной траектории приведен на рис. 1.1 (для наглядности точки соединим непрерывной линией). Если на одном графике нарисовать несколько траекторий, получим семейство траекторий случайного процесса (рис. 1.2).
Рис. 1.1
8