Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Поверхности в пространстве

Федеральное государственное бюджетное 
образовательное учреждение высшего образования 
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана 
(национальный исследовательский университет)»
Н.Г. Хорькова
Элементы дифференциальной
геометрии и топологии
Поверхности в пространстве
Курс лекций
2-е издание

УДК 513.73(075.8)
ББК 22.161.1
X83
Издание доступно в электронном виде
на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/93/book1814.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Прикладная математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор В.Н. Четвериков;
д-р техн. наук, профессор А.В. Самохин
Хорькова, Н. Г.
Х83
Элементы дифференциальной геометрии и топологии. Поверхности в пространстве : курс лекций / Н. Г. Хорькова. — 2-е
тельство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018.
Москва : Изда
д
из .
—
– 97, [3] с.: ил.
ISBN 978-5-7038-4886-9
Изложена теория гладких поверхностей в трехмерном пространстве в
объеме, предусмотренном учебным планом МГТУ им. Н.Э. Баумана по дисциплинам «Дифференциальная геометрия» и «Дифференциальная геометрия и основы тензорного исчисления» (модуль «Кривые и поверхности в
пространстве»). Приведены задачи для самостоятельной работы.
Для студентов второго и третьего курсов факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальностям
«Прикладная математика» и «Техническая физика».
УДК 513.73(075.8)
ББК 22.161.1
c
○МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
c
○Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-4886-9
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Предисловие
Предлагаемое вниманию читателя учебное пособие по дисциплинам «Дифференциальная геометрия» и «Дифференциальная геометрия и основы тензорного исчисления» (модуль «Кривые и поверхности в пространстве»), изучаемым студентами второго и третьего курсов специальностей «Прикладная математика» и «Техническая физика» МГТУ им. Н.Э. Баумана, является продолжением учебного пособия [1] и содержит изложение теории поверхностей в трехмерном пространстве в объеме, предусмотренном учебной программой. Выбор тем определен многолетним опытом преподавания данных дисциплин в
МГТУ им. Н.Э. Баумана, при этом учтены пожелания преподавателей, читающих различные курсы студентам специальностей
«Прикладная математика» и «Техническая физика», а также тематика курсовых и дипломных проектов.
Изложение теории сопровождается разбором примеров, иллюстрирующих теоретический материал, и упражнениями, выполнение которых должно помочь студентам в усвоении материала. В конце пособия приведен список задач, достаточный для
проведения практических занятий по данному модулю курсов.
В начале каждого раздела мелким шрифтом перечислены
основные понятия и теоремы, которые в этом разделе обсуждаются. Ключевые понятия в месте определения выделены курсивом. Значения других терминов, используемых в пособии, должны быть известны студентам второго и третьего курсов факультета «Фундаментальные науки». Читатель может найти определение того или иного понятия в учебниках серии «Математика в техническом университете», воспользовавшись предметным указателем, приведенным в XXI выпуске (М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2003).
Большинство используемых в пособии обозначений введено
в различных выпусках указанной серии. Ниже приведен список
основных обозначений, где наряду с краткой расшифровкой даны ссылки на выпуски серии (выделено шрифтом), в которых
можно найти их более подробное описание.

Основные обозначения
Im𝑓
— образ множества 𝑋при отображении 𝑓: 𝑋→𝑌
I
𝑋× 𝑌
— декартово произведение множеств 𝑋и 𝑌
I
{𝑥| 𝑃}
— множество, состоящее из элементов 𝑥, обладающих
свойством 𝑃
I
𝑓∘𝑔
— композиция отображений (функций) 𝑓и 𝑔
I
(⃗
a, ⃗
b)
— скалярное произведение векторов ⃗
a и ⃗
b
III
‖⃗
a‖
— длина вектора ⃗
a
III
⃗
a × ⃗
b
— векторное произведение векторов ⃗
a и ⃗
b
III
⃗
a ⃗
b⃗
c
— смешанное произведение векторов ⃗
a, ⃗
b и ⃗
c
III
⃗
r = 𝑥
⃗
i + 𝑦⃗
j + 𝑧⃗
k — радиус-вектор точки пространства I
R3
III
𝐴𝑇
— матрица, транспонированная к матрице 𝐴III
Rg A
— ранг матрицы 𝐴
III
𝐸
— единичная матрица
III
dim 𝐿
— размерность линейного пространства 𝐿
IV
span {⃗
a𝑖} — линейная оболочка системы векторов {⃗
a𝑖}
IV
⃗
r(𝑡)
— вектор-функция скалярного аргумента 𝑡
V
𝐶𝑘(𝑎, 𝑏)
— множество всех функций (скалярных или векторных), определенных на интервале (𝑎, 𝑏) и имеющих
на этом интервале непрерывные производные до порядка 𝑘включительно (множество гладких функций класса 𝐶𝑘)
V
𝐹𝑥, 𝐹𝑦, ..., 𝐹𝑥𝑥, 𝐹𝑥𝑦, ... — частные производные первого и второго
порядков функции многих переменных V
4

1. Гладкие поверхности в пространстве
Поверхности
в
пространстве.
Параметризованные
поверхности. Различные виды уравнений параметризованных поверхностей.
Примеры параметризованных поверхностей. Линейчатые, цилиндрические, конические поверхности. Регулярные и особые точки
параметризованных поверхностей. Регулярные поверхности. Гладкие поверхности. Криволинейные координаты и координатная сеть
на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Касательное пространство. Замена криволинейных координат на
поверхности (репараметризация поверхности). Преобразование координат касательного вектора при замене криволинейных координат на
поверхности.
1.1. Параметризованные поверхности
в пространстве
Интуитивное представление о поверхности как о некотором
двумерном математическом объекте позволяет дать следующее
определение (см. также обсуждение в пособии [1]).
Определение 1. Поверхностью 𝑆в пространстве I
R3 называется образ области 𝐷⊆I
R2 при отображении 𝑓: 𝐷→I
R3
класса 𝐶𝑘, 𝑘≥1.
Одна и та же поверхность 𝑆может быть задана разными
отображениями 𝑓(и разных классов гладкости 𝐶𝑘).
Определение 2. Параметризованной поверхностью класса
𝐶𝑘в пространстве I
R3 называется пара (𝑆, 𝑓), где 𝑓: 𝐷→I
R3,
𝑓∈𝐶𝑘(𝐷), 𝐷⊆I
R2 — область, 𝑆= Im𝑓= 𝑓(𝐷). Отображение
𝑓называется параметризацией поверхности 𝑆.
Если (𝑆, 𝑓) — параметризованная поверхность, то будем говорить, что поверхность 𝑆(в смысле определения 1) допускает
параметризацию 𝑓.
5

На плоскости, содержащей область 𝐷, введем координаты
(𝑢, 𝑣), и пусть 𝑂𝑥𝑦𝑧— декартова прямоугольная система координат в пространстве I
R3 (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Запись отображения 𝑓в декартовых координатах (𝑢, 𝑣) на
плоскости и (𝑥, 𝑦, 𝑧) в пространстве I
R3 дает параметрические
уравнения поверхности:
⎧
⎨
𝑥= 𝑥(𝑢, 𝑣),
𝑦= 𝑦(𝑢, 𝑣),
𝑧= 𝑧(𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈𝐷.
⎩
Параметрические уравнения поверхности могут быть записаны в векторной форме:
⃗
r = 𝑥(𝑢, 𝑣)
⃗
i + 𝑦(𝑢, 𝑣)
⃗
j + 𝑧(𝑢, 𝑣)⃗
k, (𝑢, 𝑣) ∈𝐷.
Последнее уравнение записывают также в виде
⃗
r = {𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣), 𝑧(𝑢, 𝑣)}, (𝑢, 𝑣) ∈𝐷,
или
⃗
r =
⎛
⎞
⎝
𝑥(𝑢, 𝑣)
𝑦(𝑢, 𝑣)
𝑧(𝑢, 𝑣)
⎠, (𝑢, 𝑣) ∈𝐷.
Такая запись не вполне корректна, поскольку отождествляются
вектор и набор его координат, но этот вид параметрического
уравнения поверхности удобно использовать при вычислениях.
6

Уравнение
⃗
r = ⃗
r(𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈𝐷
называется векторным уравнением поверхности (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Переменные (𝑢, 𝑣) называются параметрами на поверхности 𝑆.
1.2. Примеры параметризованных поверхностей
в пространстве
Плоскость в пространстве. Плоскость, проходящая через
точку 𝑃0 и параллельная двум неколлинеарным векторам ⃗
a и ⃗
b,
задается векторным уравнением
⃗
r = ⃗
r0 + ⃗
a 𝑢+ ⃗
b 𝑣, 𝑢, 𝑣∈I
R,
где ⃗
r0 — радиус-вектор точки 𝑃0 (рис. 1.3).
Рис. 1.3
7

График функции. Пусть в области 𝐷⊆I
R2 задана функция ℎ(𝑥, 𝑦) ∈𝐶𝑘(𝐷). График этой функции, т. е. множество
(рис. 1.4)
Γℎ=
{︀
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈I
R3|(𝑥, 𝑦) ∈𝐷, 𝑧= ℎ(𝑥, 𝑦)
}︀
,
задается параметрическими уравнениями
⎧
⎨
𝑥= 𝑢,
𝑦= 𝑣,
𝑧= ℎ(𝑢, 𝑣), (𝑢, 𝑣) ∈𝐷,
или уравнением
⎩
⃗
r = {𝑥, 𝑦, ℎ(𝑥, 𝑦)} , (𝑥, 𝑦) ∈𝐷.
(1.1)
В этом случае в качестве параметров (𝑢, 𝑣) естественно взять
переменные (𝑥, 𝑦).
Рис. 1.4
Поверхность вращения. Поверхность 𝑆, получаемая вращением вокруг оси 𝑂𝑧кривой 𝛾, лежащей в плоскости 𝑂𝑥𝑧и
задаваемой уравнениями
𝛾:
{︂𝑥= 𝜌(𝑢),
𝑧= 𝑧(𝑢), 𝑢∈(𝑎, 𝑏),
допускает следующую параметризацию:
⎧
⎨
𝑥= 𝜌(𝑢) cos 𝑣,
𝑦= 𝜌(𝑢) sin 𝑣,
𝑧= 𝑧(𝑢), 𝑢∈(𝑎, 𝑏), 𝑣∈(𝛼, 𝛽).
8
⎩

В качестве области изменения параметра 𝑣взят некоторый
интервал (𝛼, 𝛽). Если 𝛽= 𝛼+ 2𝜋, то из «привычной» поверхности вращения (рис. 1.5, 𝑎) надо выбросить кривую 𝛾, повернутую
на угол 𝛼. Если |𝛼−𝛽| > 2𝜋, то разным значениям параметров
будут соответствовать одни и те же точки поверхности.
Рис. 1.5
Упражнение. Составьте уравнение поверхности, получаемой вращением графика функции 𝑦= ℎ(𝑥) вокруг оси 𝑂𝑥.
Поверхности второго порядка. Составим параметрические уравнения поверхностей второго порядка.
Параметризацию эллипсоида 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 + 𝑧2
𝑐2 = 1 подскажут
формулы, связывающие декартовы и сферические координаты
в пространстве:
𝑥= 𝑟cos 𝜃cos 𝜙,
𝑦= 𝑟cos 𝜃sin 𝜙,
𝑧= 𝑟sin 𝜃.
(1.2)
⎧
⎨
⎩
Заменив в трех формулах (1.2) 𝑟соответственно на 𝑎, 𝑏и 𝑐, 𝜃на
𝑢, 𝜙на 𝑣, получим параметрические уравнения эллипсоида:
𝑥= 𝑎cos 𝑢cos 𝑣,
𝑦= 𝑏cos 𝑢sin 𝑣,
⎧
⎪
⎨
2 , 𝜋
2
𝑧= 𝑐sin 𝑢, 𝑢∈
(︁
−𝜋
)︁
, 𝑣∈(0, 2𝜋),
(1.3)
или
⎪
⎩
2 , 𝜋
2
⃗
r = {𝑎cos 𝑢cos 𝑣, 𝑏cos 𝑢sin 𝑣, 𝑐sin 𝑢}, 𝑢∈
(︁
−𝜋
)︁
, 𝑣∈(0, 2𝜋).
9

Отметим, что при таком выборе области 𝐷изменения параметров 𝑢и 𝑣поверхность 𝑓(𝐷) оказывается эллипсоидом
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 +𝑧2
𝑐2 = 1 без половины эллипса, задаваемой уравнения2 , 𝜋
2
ми ⃗
r = {𝑎cos 𝑢, 0, 𝑐sin 𝑢}, 𝑢∈
[︁
−𝜋
]︁
.
Параметрические уравнения однополостного гиперболоида
𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 −𝑧2
𝑐2 = 1 получают из уравнений (1.3) заменой
sin 𝑢и cos 𝑢соответствующими гиперболическими функциями:
⎧
⎨
𝑥= 𝑎ch 𝑢cos 𝑣,
𝑦= 𝑏ch 𝑢sin 𝑣,
𝑧= 𝑐sh 𝑢, 𝑢∈I
R, 𝑣∈(0, 2𝜋),
или
⎩
⃗
r = {𝑎ch 𝑢cos 𝑣, 𝑏ch 𝑢sin 𝑣, 𝑐sh 𝑢}, 𝑢∈I
R, 𝑣∈(0, 2𝜋).
Поверхность 𝑓(𝐷) является однополостным гиперболоидом
𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 −𝑧2
𝑐2 = 1 без ветви гиперболы ⃗
r = {𝑎ch 𝑢, 0, 𝑐sh 𝑢},
𝑢∈I
R.
Двуполостный гиперболоид 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 −𝑧2
𝑐2 = −1 является
несвязным множеством, и задать его целиком параметрическими уравнениями нельзя. Уравнение
⃗
r = {𝑎sh 𝑢cos 𝑣, 𝑏sh 𝑢sin 𝑣, 𝑐ch 𝑢}, 𝑢> 0, 𝑣∈(0, 2𝜋),
задает верхнюю (𝑧> 0) полость без половины ветви гиперболы
⃗
r = {𝑎sh 𝑢, 0, 𝑐ch 𝑢}, 𝑢≥0.
Упражнение. Составьте параметрические уравнения нижней полости двуполостного гиперболоида.
Эллиптический параболоид 𝑧= 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 , будучи графиком функции, допускает параметризацию
𝑎2 + 𝑦2
⃗
r = {𝑥, 𝑦, 𝑥2
𝑏2 }, 𝑥, 𝑦∈I
R.
10