Числовые ряды. Теория и практика

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
С. О. Карданов
Числовые ряды. Теория и практика
Методические указания к выполнению домашнего задания

УДК 517.521
ББК 22.161
          К21 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1688.html
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Высшая математика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Карданов, С. О.
Числовые ряды. Теория и практика. Методические указания 
 
К21
к выполнению домашнего задания / С. О. Карданов. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 43, [5] с.
ISBN 978-5-7038-4737-4
Даны основные определения и теоремы, относящиеся к теории 
числовых рядов. Рассмотрены подробные решения типовых задач по 
указанной теме, приведены задания для самостоятельной работы студентов. 
Материал носит справочный характер и поможет студентам при самостоятельном изучении теории числовых рядов и решении задач. 
Для студентов 2-го курса технических специальностей МГТУ 
им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.521
ББК 22.161 
	
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
	
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4737-4	
    МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 

Предисловие
Теория рядов (числовых, функциональных, тригонометрических) 
является одной из основных тем в математическом образовании 
инженера.
Предлагаемая работа посвящена числовым рядам. В настоящее 
время ряды широко используются в математике и ее приложениях как в теоретических исследованиях, так и при приближенных 
численных решениях задач. Ряды применяются для вычисления 
приближенных значений функций, интегралов, решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных). Многие числа могут  быть записаны в виде специальных 
рядов, с помощью которых удобно вычислять их приближенные 
значения с нужной точностью. 
Работа состоит из двух разделов. В первом рассмотрены числовые 
ряды с действительными членами. Приведены основные определения и теоремы (признаки), необходимые для ответа на основной вопрос теории числовых рядов — вопрос о сходимости ряда. Подробно 
разобраны примеры с применением приведенных признаков.
Второй раздел посвящен числовым рядам с комплексными членами. 
В нем приведены основные теоретические сведения и подробные решения задач по указанной теме.
В  приложении приведены задачи для выполнения домашнего 
задания. Задачи сгруппированы в тематические блоки, что позволит студенту при решении задач каждого из этих блоков обращаться к соответствующему теоретическому материалу. Блок (задание) 1 

содержит 20 задач, в которых требуется найти сумму ряда. Блоки 
(задания) 2–10 содержат по 20 задач на исследование сходимости 
ряда. Для каждого блока указан признак, с  помощью которого 
предлагается исследовать сходимость рядов в данном блоке. Блок 
(задание) 11 содержит 50 задач. В них студентам предлагается самостоятельно подобрать подходящий признак, что позволит закрепить полученные навыки решения задач по числовым рядам.
Пособие будет полезно студентам, изучающим теорию числовых рядов.
3

1. Числовые ряды с действительными членами
Представление о числовом ряде (бесконечной сумме чисел) 
имелось еще в Древней Греции. Как самостоятельное понятие ряд 
начали рассматривать в XVII в. Формальная теория рядов успешно 
развивалась в XVIII–XIX вв. в работах Я. Бернулли и И. Бернулли, 
Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа 
и других ученых. Точная теория рядов была создана в XIX в. на основе понятия предела трудами К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, 
П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Г. Римана и др. Ряды для 
решения уравнений — как алгебраических, так и дифференциальных — использовали И. Ньютон и Г. Лейбниц.
1.1. Основные понятия
Определение 1.1. Пусть задана бесконечная последовательность действительных чисел a1, a2, …, an, … .
Тогда выражение вида 
	
a1 + a2 + a3 + … + an + …,	
(1.1) 
составленное из членов этой последовательности, называется рядом. При этом a1, a2, …, an, … называют членами ряда: a1 — первый 
член, a2 — второй член и т. д.; an называют n‑м, или общим, членом 
ряда.
∞
∑
1
,  где п приниРяд (1.1) можно сокращенно записать как 
an
n=
мает целочисленные значения от 1 до ∞ (нумерацию членов ряда 
иногда удобнее начинать не с единицы, а с нуля или с какого-либо 
натурального числа, большего единицы).
Примерами рядов могут служить:
1) 1
2
3
∞
∑
...
...
;
n
n
1
+
+ +
+
+
=
n
=
4

∞
∑
...
...
;
n
n
n
n
n
2) 1
1 2
1
2 3
1
1
1
1
2
⋅
+
⋅+
+
−
(
)
+
=
−
(
)
=
3) 1
2
4
2
2
1
1
∞
∑
...
...
.
n
n
1
+
+
+
+
+
=
−
−
n
=
Для того чтобы задать ряд, достаточно указать правило, по которому можно найти любой его член.
Выражение (1.1) представляет сумму бесконечного числа слагаемых, поэтому оно является формальным. Сумму любого конечного числа слагаемых ряда (1.1) можно найти, если сложить их последовательно по одному.
Определение 1.2. Конечные суммы вида 
S1 = a1, 
S2 = a1 + a2, 
S3 = a1 + a2 + a3, 
……………………
Sn–1 = a1 + a2 + a3 + … + an–1, 
Sn = a1 + a2 + a3 + … + an–1 + an, 
называются частичными суммами ряда (1.1): S1 — первая частичная 
сумма, S2 — вторая частичная сумма, …, Sn — n‑я частичная сумма 
ряда (1.1).
Определение 1.3. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1.1) S
S
n
n
=
→∞
lim
,  то говорят, что 
этот ряд сходится, а число S называют суммой ряда (1.1). При этом 
можно записать:
	
a1 + a2 + a3 + … + an + … = S.
Если последовательность частичных сумм ряда не  имеет конечного предела, то говорят, что этот ряд расходится.
5