Прямая и плоскость в пространстве

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
С.Н. Ефремова, А.В. Косова, Т.А. Ласковая 
 
 
Прямая и плоскость в пространстве 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 515.1(075.8) 
ББК 22.151 
Е92 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/122/book1710.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Математическое моделирование» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
Е92 
 
 
Ефремова, С. Н. 
 
 
Прямая и плоскость в пространстве : учебное пособие / С. Н. Ефремова, А. В. Косова, Т. А. Ласковая. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2017. — 36, [4] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4733-6 
 
Кратко изложен теоретический материал по теме «Прямая и плоскость в пространстве», рассмотрены основные понятия, даны алгоритмы 
решения типовых задач и пояснения к основным действиям при выполнении этого алгоритма. Приведено большое количество задач с подробными решениями, которые помогут как в выполнении домашнего задания, так и при подготовке к экзамену. 
Для студентов 1-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс 
«Аналитическая геометрия». 
 
УДК 515.1(075.8) 
ББК 22.151 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4733-6  
    МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
2 

 
Предисловие 
В данном издании рассмотрены геометрические объекты, 
определяемые линейными уравнениями, а именно плоскости и 
прямые линии в пространстве. Основными методами при решения типовых задач по теме «Прямая и плоскость в пространстве» 
являются методы векторной алгебры, которые представляют собой наиболее подходящий инструмент для исследования взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве.  
Цель пособия — изучение сущности аналитического метода 
при решении различных задач.  
Издание содержит большое количество типовых задач базового и более сложного уровня, а также их подробные решения.  
После изучения материала данного пособия студенты должны 
знать методы векторной алгебры и аналитической геометрии и 
уметь применять их в решении задач, а также приобрести навыки 
практического применения базовых понятий курса «Аналитическая геометрия» для решения более сложных и интересных задач. 
 
 
 
 
 
3 

1. ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 
Большинство задач, рассматриваемых в пособии, решены с использованием методов векторной алгебры. Поэтому напомним основные определения и теоремы, на которые будем наиболее часто 
ссылаться и использовать в дальнейшем. 
Прежде всего отметим, что в курсе «Аналитическая геометрия» рассматриваются так называемые свободные векторы. Под 
свободным вектором понимается множество направленных отрезков, расположенных на параллельных прямых и имеющих 
одинаковую длину и направление. При таком подходе все множество направленных отрезков в пространстве разделяется на множество классов равных направленных отрезков. Любой направленный отрезок AB
а

 может быть представителем вектора 
.
а  
Таким образом, для любого вектора точка приложения может 
быть выбрана произвольно. 
Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной или 
на параллельных прямых. 
Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. 
Приведем несколько важных теорем, необходимых нам в 
дальнейшем. 
Теорема 1 (критерий ортогональности векторов). Векторы а  
и b  ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение ( ,
)
a b  равно нулю. 
Теорема 2 (первый критерий коллинеарности векторов). Векторы а  и b  коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны. 
Теорема 3 (второй критерий коллинеарности векторов). Векторы а  и b  коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение a b

 равно нулю. 
Теорема 4 (критерий компланарности векторов). Векторы ,
а  
b  и с  компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное 
произведение ( , ,
)
а b с  равно нулю. 
Перейдем к понятию плоскости. 
4