Построение кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат на плоскости
Эскизирование кривых: руководство для студентов МГТУ им. Баумана
Данное учебно-методическое пособие, разработанное преподавателями МГТУ им. Н.Э. Баумана, посвящено методам построения эскизов плоских кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат. Цель работы – помочь студентам первого семестра освоить навыки графического представления математических функций в рамках домашнего задания по теме "Графики элементарных функций".
Параметрическое задание кривых
Введение начинается с напоминания о различных способах задания кривых на плоскости, включая явный, неявный и параметрический. Подчеркивается важность параметрического представления, особенно при исследовании вращательных движений. Основное внимание уделяется задаче эскизирования кривых, то есть построению приблизительных графиков без проведения полного анализа функций с использованием производных.
В пособии представлены два основных способа эскизирования параметрически заданных кривых. Первый способ предполагает построение вспомогательных графиков для функций, определяющих координаты x и y в зависимости от параметра t. Затем, анализируя поведение этих функций (нули, экстремумы, точки неопределенности), строится искомая кривая путем соединения соответствующих участков. Приводятся примеры построения кривых с использованием данного метода, включая анализ симметрии и определение характерных точек.
Второй способ основан на представлении параметрических уравнений в векторной форме. Координаты x и y рассматриваются как компоненты вектора, что позволяет использовать методы векторной алгебры для анализа и построения кривой. Рассматривается пример построения эллипса и циклоиды, иллюстрирующий применение данного подхода.
В заключение раздела о параметрическом задании кривых подчеркивается важность анализа на наличие асимптот для более точного построения графика. Приводятся формулы для определения вертикальных и наклонных асимптот, а также примеры их нахождения.
Полярная система координат и построение графиков
Вторая часть пособия посвящена построению кривых в полярной системе координат. Дается определение полярной системы координат, объясняются понятия полюса, полярной оси, полярного радиуса и полярного угла. Рассматривается связь между полярными и декартовыми координатами, приводятся формулы для преобразования координат.
Основной метод построения кривых в полярной системе координат заключается в построении графика функции ρ = ρ(ϕ) по точкам. Для этого выбираются значения полярного угла ϕ, вычисляются соответствующие значения полярного радиуса ρ, и на лучах, исходящих из полюса, откладываются отрезки, соответствующие этим значениям. Приводятся примеры построения спирали Архимеда, кардиоиды и лемнискаты Бернулли, иллюстрирующие применение данного метода.
В заключение раздела подчеркивается важность использования вспомогательных графиков для анализа поведения функции ρ = ρ(ϕ) и упрощения процесса построения. Отмечается, что для более точного построения кривой можно увеличивать количество точек и варьировать их расположение, сгущая в областях, где функция резко изменяется.
Практическая часть
В конце пособия представлены варианты заданий для самостоятельной работы студентов, включающие построение эскизов кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат.
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.04: Прикладная математика
- 02.03.01: Математика и компьютерные науки
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана А.Ф. Грибов, А.В. Котович, О.М. Минеева Построение кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат на плоскости Методические указания к выполнению домашнего задания Под редакцией Г.П. Стась 2-е издание
УДК 513.61
ББК 22.147
Г82
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1644.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Прикладная математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Рецензент Л.Д. Покровский
Грибов, А. Ф.
Построение кривых, заданных параметрически и в полярной
Г82
системе
координат
на
плоскости.
Методические
указания
к выполнению домашнего задания / А. Ф. Грибов, А. В. Котович,
О. М. Минеева ; под ред. Г. П. Стась. — 2-е изд. — Москва :
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 25, [3] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-4671-1
Рассмотрены способы эскизирования кривых на плоскости, заданных параметрически и в полярной системе координат, т. е. способы
построения эскизов (набросков) таких кривых без проведения полного
исследования уравнений, их задающих, с привлечением первой и второй производной. Приведены примеры построения кривых каждым из
указанных способов и представлены варианты задания для самостоятельной работы студентов.
Для студентов первого семестра, выполняющих приведенное задание в рамках домашнего задания «Графики элементарных функций».
УДК 513.61
ББК 22.147
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
© Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-4671-1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
ВВЕДЕНИЕ Наряду с явным заданием кривых на плоскости в декартовой системе координат Oxy, когда зависимость x от y определяется выражением y = f(x), и неявным, когда x и y связаны между собой уравнением F(x,y) = 0 [1], часто используется параметрическое задание. В некоторых случаях (например, при исследовании вращательных движений) удобно использовать полярную систему координат. Поэтому, как и при рассмотрении графиков функций, заданных в декартовой системе координат, возникает задача эскизирования кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат на плоскости. Под эскизированием графика функции (кривой на плоскости) понимают построение эскиза (наброска) графика функции (кривой на плоскости) без проведения полного исследования функции (функций или уравнений, задающих кривую) с привлечением первой и второй производной [2]. Однако такой эскиз должен достаточно точно отражать основные особенности поведения функции (кривой).
Похожие