Статистическое моделирование дискретных марковских систем с взаимодействием

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана
А.В. Калинкин
Статистическое моделирование дискретных
марковских систем с взаимодействием 
Методические указания
к выполнению типового расчета 

УДК 519.21+531.19
ББК 22.171
	
К17
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1630.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Высшая математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
	
Калинкин, А. В.
К17	 	 Статистическое моделирование дискретных марковских 
систем с взаимодействием: методические указания к выполнению типового расчета / А. В. Калинкин. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 41, [3] с. : ил.
	
	
ISBN 978-5-7038-4655-1
Представлены необходимые теоретические сведения и методические указания по применению метода статистических испытаний при 
моделировании стохастических систем с взаимодействием при дискретном фазовом пространстве. Приведены соответствующие примеры, даны варианты типового расчета.
Для студентов факультетов «Фундаментальные науки» и «Робототехника и комплексная автоматизация».
УДК 519.21+531.19
ББК 22.171
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
© Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-4655-1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Предисловие 
Данное пособие включает раздел курса «Марковские модели 
систем с взаимодействием», посвященный приближенным численным расчетам, и соответствует программе подготовки магистров 
по специальности «Прикладная математика» факультета «Фундаментальные науки».
Цель методических указаний — способствовать достижению 
студентами и аспирантами ряда компетенций, необходимых для 
исследования и последующего статистического моделирования на 
ЭВМ сложных физических и технических систем с дискретными 
состояниями.
Критериями достижения указанных целей являются усвоение 
обучающимися определяемых в данном курсе базовых понятий 
теории марковских процессов со счетным множеством состояний 
и решение предлагаемых в пособии задач типового расчета как 
аналитическими методами, так и с применением вычислительных 
компьютерных технологий. Используются программные пакеты 
Matlab, Maple, Mathematica с визуализацией данных.

1. Кинетические схемы и дискретные
 марковские модели
В различных областях естествознания и техники дискретные 
системы с взаимодействием составляющих их элементов задаются 
кинетическими схемами. В первом семестровом курсе «Дополнительные главы теории случайных процессов» [1] изложены основы 
аналитического метода для марковских процессов с дискретными 
состояниями. Рассматриваются одномерные и многомерные процессы рождения и гибели линейного типа, соответствующие схемам 
превращений [2–4]:
T
T
1
2
→
 (ординарная);
T
T
Tn
1
2
→
→
→

 (последовательная);
T
T T
1
2
3
,
→
 (параллельная);
T
T
1
2
→
; T
T T
2
3
4
,
→
 (последовательно-параллельная);
T
T
T
T
n
1
2
1
→
→
→
→

 (простая циклическая);
T
T
→2
 (автокатализ);
T
kT
→
, k = 0,1, 2, (цепная с ветвлением);
0 →T; T →0  (система массового обслуживания М/М/∞) и другие.
Во втором семестровом курсе «Марковские модели систем 
с взаимодействием» [5] рассматриваются процессы рождения и 
гибели квадратичного типа, соответствующие схемам с парными 
взаимодействиями:
2T
T
→
 (бинарная);
T
T
T
1
2
3
+
→
 (бинарная);
T
T
T
1
2
4
+
→
; T
T
T
1
3
5
+
→
 (параллельная);
T
T
T
1
2
3
+
→
; T
T
T
3
1
2
→
+
 (двусторонняя);
T
T
T
T
1
2
2
3
+
→
+
 (катализ) и другие.
В общем случае система с взаимодействиями и превращениями составляющих их элементов типов T
Tn
1,
,

 задается кинетической схемой [1, 4, 6]:



;
T
T
T
T
T
T
ε
ε
ε
γ
γ
γ
+
+
+
→
+
+
+
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
n
n
n
n
	
	
(1.1)
T
T


T
T
T
T
+
+
+
ε
ε
ε
→
+
+
+
γ
γ
γ



1 1
2
2
n
i
i
n
i
n
1 1
2
2
i
i
n
i
;


T
T
T
T
T
ε
ε
ε
γ
γ
+
+
+
→
+
+

+
1 1
2
2
1 1
2
2
l
l
n
l
n
l
l



γn
l
n
T ,
4

где ε j
i , γ j
i  — целые неотрицательные числа, i
l
=1,
,
, j
n
=1,
,

.
Схема (1.1) может учитывать поступление элементов извне 
(открытая система) и образование конечных элементов (финального продукта).
1.1. Детерминированный и стохастический подходы 
при моделировании схем взаимодействий
Детерминированный подход к моделированию кинетической 
схемы (1.1) состоит в следующем. Вводят количество x t
i( ) элементов типа Ti  в момент времени t ∈
∞
[0, ), где i
n
=1,
,

.  Функции 
x t
x t
n
1( ),
,
( )

 удовлетворяют системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, или кинетических уравнений [4]:
=
( ,
,
);
x
f x
x

n
1
1
1



=
( ,
,
);
x
f x
x
	
	
(1.2)
i
i
n
1

=
( ,
,
)
x
f
x
x




…
…

…
…

…
n
n
n
1

0
0
(0)=
,
,
(0)=

.  Вид функций 
с начальными условиями x
x
x
x
n
n
1
1
f
fn
1,
,

 определяется схемой (1.1) по законам формальной кинетики [4]:
для ординарной схемы превращений T
T
1
2
→
 полагают 


x
x
x
x
1
1
2
1
=
;
=
;
−λ
λ
для бинарной схемы взаимодействий T
T
T
1
2
3
+
→
 полагают 



x
x x
x
x x
x
x x
1
1
2
2
1
2
3
1
2
=
;
=
;
=
−
−
λ
λ
λ
(так называемый «закон действующих масс»), где λ > 0  — константа. В прикладных задачах функции f
fn
1,
,

 являются многочленами степени не выше третьей.
Стохастический подход основан на вероятностной модели 

[1, 7] для схемы взаимодействий (1.1) в виде однородного во вре5