Смешанные задачи для уравнений математической физики. Метод Фурье

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
А.И. Лошкарев, Т.В. Облакова 
 
 
 
Смешанные задачи для уравнений  
математической физики. 
Метод Фурье 
 
 
 
Методические указания 
к выполнению домашнего задания  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.9 
ББК 22.311 
Л81 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1627.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия 
 
Л81 
 
 
Лошкарев, А. И. 
 
 
Смешанные задачи для уравнений математической физики. 
Метод Фурье :  методические указания к выполнению домашнего 
задания / А. И. Лошкарев, Т. В. Облакова. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 49, [3] с. : ил. 
 
 ISBN 978-5-7038-4652-0 
Представлен необходимый теоретический материал для самостоятельной проработки основных понятий «Метода разделения переменных 
для решения одномерных смешанных задач гиперболического и параболического типов», приведены примеры решения типовых задач и варианты типового домашнего задания.  
Издание предназначено для методического обеспечения направления 
подготовки «Математика и компьютерные науки» в МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также может быть использовано студентами других направлений и 
специальностей, изучающих курс «Уравнения математической физики». 
 
 
УДК 517.9 
 
 ББК 22.311 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4652-0 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
2 

 
 
Предисловие 
В издании на примере пространственно одномерных уравнений теплопроводности и колебаний изложен один из основных 
методов получения точных решений для начально-краевых (смешанных) задач. Приведены теоретические сведения, обосновывающие существование решения, найдены собственные функции 
для различных типов однородных краевых условий. Рассмотрены 
примеры применения метода к уравнениям с однородной и неоднородной правой частью. Показаны различные замены переменной, позволяющие включить в рассмотрение задачи с неоднородными граничными условиями. Отдельно приведено решение  
телеграфного уравнения для короткозамкнутой линии, сформулированы выводы о характере распространения волны напряжения вдоль линии. Разработано 20 вариантов индивидуального домашнего задания на постановку и решение задачи о нестационарном распределении температуры в тонком стержне. 
 
 
3 

 
 
Введение  
Суть изучаемого метода Фурье состоит в представлении искомого решения в виде ряда по собственным функциям задачи 
Штурма — Лиувилля, соответствующей определенным краевым 
условиям. Будем рассматривать одномерные уравнения колебаний и теплопроводности. 
Одномерное уравнение колебаний имеет вид 
2
 


2
ρ
div 
 
,
,
u
u
p
qu
F x t
x
t













 
(В.1) 
где 


,
u
u x t

 — неизвестная функция, интерпретируемая как 
отклонение элемента x от положения равновесия в момент времени t; ρ
ρ( ),  
( ),
x
p
p x


 
( )
q
q x

 — коэффициенты, определяемые свойствами среды, в которой происходит колебательный 
процесс; 


,
F x t  — свободный член, показывающий интенсивность внешнего возмущения. 
Одномерное уравнение диффузии (теплопроводности): 
 


ρ
div
,
,
u
u
p
qu
F x t
t
x













 
(В.2) 
где 


,
u
u x t

 — неизвестная функция, интерпретируемая как 
плотность диффундирующих частиц (температура) в точке x в момент времени t; ρ
ρ( ),  
( ),  
( )
x
p
p x
q
q x



 — коэффициенты, которые отражают свойства среды, характеризующие процесс теплообмена; 


,
F x t  — свободный член, показывающий интенсивность 
источников (стоков) частиц (теплоты) за счет внешних воздействий. 
4 

 
1. Постановка смешанных задач для  
пространственно одномерных уравнений 
Пусть 


0,
G
l

 — область, где происходит физический процесс, точки 
0
x 
 
и x
l
 являются граничными. Областью 
задания уравнений (В.1), (В.2) будем считать прямоугольник ПT высотой T и основанием G (рис. 1.1), границы которого 
представлены отрезками прямых 
0
x 
 и 
 
Рис. 1.1. Иллюстрация 
области задания уравнений (В.1), (В.2) 
2
1
Π
Π
T
T



, удовлетворяющую: 
x
l
 (боковые стороны) и 
0
t 
 и  
t
T

 
(два основания). 
В соответствии с физическим и математическим смыслом задачи предполагаем: 
1) 

ρ( )
,
x
G

 

1
( )
,
p x
G

 

( )
,
q x
G

 где 

m G

 — класс функций, непрерывных на области 
 
G вместе со всеми производными 
вплоть до порядка  ;
m  
2) ρ( )
0,
( )
0,  ( )
0.
x
p x
q x



 
Для уравнения колебаний гиперболического типа (В.1) смешанная задача формулируется следующим образом: найти функцию 
( , )
u x t  из класса 




1) уравнению (В.1) в прямоугольнике ΠT ; 
2) начальным условиям при 


0,  
0,
t
x
G
l



 (на основании 
прямоугольника) 




 
(1.1) 
 
0
1
0
0
( ),   
( );
t
t
u
u
u x
u x
t


3) граничным условиям (на боковых сторонах прямоугольника) 
t
μ
( )
;
u
h u
h
x










1
2
1
0
x

 
  
(1.2) 
t
μ
)
(
,
1
2
2
u
H u
H
x










x l

5 

1,2
1,2
1
2
1
2
0,   
0,  
0,  
0
h
H
h
h
H
H






, 
где hi, Hi — постоянные; μi — заданные функции. 
При этом должны выполняться условия гладкости: 


,
Π
;  ( )
;  


1
0
T
F x t
u x
G








 
t
u
G
T
T
t
x
( )
(
;  
)
(
0,
;   
0,
)





1
1
2









и согласованности: 
μ
;
u
h u
h
x










0
1 0
2
1
0
0
t
x


 
 
(1.3) 
 
,
μ
0
1 0
2
2
0
u
H u
H
x










t
x l


;
u
d
h u
h
x
dt











t
x
1
1
1 1
2
0
0


 
(1.4) 
 
.
 
u
d
H u
H
x
dt











1
2
1 1
2
0
t
x l


Равенства (1.4) имеют смысл, если решение 

,
u x t  достаточно гладко вплоть до нижнего основания. 
Для уравнения диффузии (В.2) (параболического типа) смешанная задача ставится аналогично: найти функцию 

,
u x t  класса 




2 Π
Π
T
T



, 


ΠT
u
x



, удовлетворяющую уравнению 
(В.2) в прямоугольнике ΠT  и при 
0
t  начальному условию 
 
0
0
( ),
t
u
u
x

 
(1.5) 
а также граничным условиям (1.2). 
Замечание. Решения поставленных задач с гладкостью 
1
 
вплоть до границы задания уравнения существуют не всегда. Поэтому иногда приходится отказываться от необходимости такой 
6