Числовые ряды

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
И. Е. Кандаурова, О. В. Михайлова
Числовые ряды
Методические указания к решению задач

УДК 517.521
ББК 22.1
          К19
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/122/book1616.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Математическое моделирование»
Рекомендовано  Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
Кандаурова, И. Е.
Числовые ряды : методические указания к решению задач / 
 
К19
Н. Е. Кандаурова, О. В. Михайлова. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2017. — 43, [1] с.: ил.
ISBN 978-5-7038-4635-3 
Содержат теоретический материалл об исследовании знакоположенных и знакопеременных числовых рядов на сходимость. Приведены задачи, предназначенные для самостоятельного решения по теме 
«Числовые ряды». 
Для студентов 2-го курса, обучающихся на факультетах «Информтика и системы управления», «Радиоэлектроника и лазерная техника», «Биомедицинская техника» в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 517.521
ББК 22.1
Учебное издание
Кандаурова Ирина Евгеньевна, Михайлова Ольга Владимировна
Числовые ряды
Подписано в печать 20.02.2017. Формат 60×90/16.
Усл. печ. л. 2,75. Тираж 100 экз. Изд. № 165-216. Заказ
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана.
105005, Москва, 2‑я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
press@bmstu.ru, www.baumanpress.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н. Э. Баумана.
105005, Москва, 2‑я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
baumanprint@gmail.com
	
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017
	
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4635-3	
     МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017

Предисловие
Числовые ряды применяют в таких случаях как: приближенное 
вычисление функций и интегралов, замена сложных функций более 
простыми, в частности многочленами, свойства которых хорошо изучены, вычисление пределов, решение дифференциальных уравнений. Известно, что на практике распространено использование сходящихся рядов. В методических указаниях даны рекомендации по их 
исследованию. Авторы предполагают, что студенты владеют основными понятиями теории бесконечно малых и больших величин и их 
сравнения, а также различными способами вычисления пределов.  
Важно заметить, что исследование числового ряда с  положительными членами в первую очередь следует начинать с применения 
необходимого признака, тогда в некоторых случаях положительный 
ответ можно получить сразу, а при рассмотрении знакопеременного 
ряда — с  соответствующего ряда модулей и  следовать схеме, изложенной в методических указаниях к решению задач по теме «Числовые ряды». Они состоят из предисловия, пяти разделов, и списка 
литературы, рекомендуемой для дополнительного изучения материала разделов. В них приведены все необходимые теоретические 
сведения. Вначале изложены исторические факты, далее рассмотрены необходимый и  достаточные признаки исследования рядов 
на  сходимость. Также представлена схема Куммера, из  которой 
можно получить достаточные признаки. Подробно объяснена теория знакопеременных рядов, дана наглядная схема их исследования. В конце издания представлены задачи для самостоятельного 
решения, а также варианты для подготовки к контрольной работе. В 
каждом разделе приведены примеры и решения задач, которые могут быть полезны студентами при подготовке к контрольной работе, 
модульному рубежному контролю, к выполнению домашнего задания 
по теме «Числовые ряды», экзаменам, а также использованы преподавателями при проведении практических занятий.
Издание предназначено для  студентов технических специальностей, однако будет полезно всем, кто интересуется теорией рядов. 
3

1. Исторические сведения
Для преодоления трудностей, связанных с интегрированием, И. Ньютон и Г
. В. Лейбниц выражали подынтегральную функцию в виде многочлена с бесконечным числом членов. Применяя к таким выражениям обычные правила алгебры, математики XVIII в. сделали множество замечательных открытий. Однако обнаружили, что безоговорочное применение этих 
правил к бесконечным суммам может приводить к ошибкам в расчетах. 
Следовательно появилась необходимость точной формулировки основных 
понятий и изучения свойств бесконечных рядов. Эта задача была решена 
математиками XIX в., имена которых будут упомянуты далее.
Рядом в математике называют выражение вида
	
a
a
a
1
2
3
+
+
+..., 	
(1.1)
составленное из  чисел, пронумерованных в  определенном порядке, 
которые называются членами ряда*. Многоточие, в котором и заключается основная идея ряда, указывает, что выражение (1.1) не имеет 
последнего слагаемого и за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, ряд является бесконечной суммой.
При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определенный числовой результат. Вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых не сможет ни человек, ни ЭВМ, поскольку процесс сложения членов ряда (по его определению) никогда не заканчивается. 
Поэтому выражение (1.1) — это лишь некая математическая запись, 
которой надлежит придать определенный смысл.
Рассмотрим конкретный числовой ряд
1
1
	
1
2
32
+
+
+
+
+..., 	
(1.2)
1
4
1
8
16
каждое последующее слагаемое которого равно половине предыдущего.
* Энциклопедический словарь юного математика. 2-е изд., испр. и доп. М.: 
Педагогика. 1989. 351 с.
4

Подсчитаем сумму одного, двух, трех, четырех, пяти его членов:
                              1
2
1
2
=
,
                       1
2
3
4
+
=
,
1
4
                1
2
7
8
+
+
=
,
1
4
1
8
1
         1
2
15
16
+
+
+
=
,
1
4
1
8
16
1
1
 1
2
31
32
+
+
+
+
=
.
1
4
1
8
16
32
Заметим, что значения этих сумм отличаются от 1 на  1
2,  1
4, 1
8,  1
16,
1
32.  Это означает, что при увеличении числа слагаемых для их сумм 
получают хотя и различные числовые значения, однако с каждым разом все меньше отличающиеся от 1. Число 1 назовем суммой ряда (1.2).
Приближенные суммы ряда (1.1) S
a
1
1
=
,  S
a
a
2
1
2
=
+
, S
a
a
a
3
1
2
3
=
+
+
,  
S
a
a
a
a
n
n
=
+
+
+
+
1
2
3
...
 называются частичными суммами. Если последовательность частичных сумм Sn  при неограниченном возрастании 
n  стремится к  некоторому числу S,  то  ряд называется сходящимся, 
в противном случае — расходящимся. Число S  называется при этом 
суммой ряда, его записывают следующим образом: a
a
a
1
2
3
+
+
+
+
...
+
+
=
a
S
n
...
.  
Такая запись является сокращенной формой следующего утвержде=
 На  практике 
ния: при неограниченном возрастании числа членов ряда значения Sn  
сколь угодно мало отличаются от  S,  т. е. это число есть предел последовательности Sn,  что записывают в виде lim
.
S
S
n
n→∞
не для всякого ряда последовательность его частичных сумм стремится 
к определенному пределу.
Например, для ряда
	
1 1 1 1 1 1
−+ −+ −+ .... 	
(1.3)
частичные суммы Sn  принимают попеременно значения 1  и  0: 
5