Основы математической теории надежности

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана
А.В. Калинкин,  И.В. Павлов
Основы математической  
теории надежности
Методические указания  
к выполнению типового расчета

УДК 519.248+519.873
ББК 30.14
К27
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1600.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Высшая математика»
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия
 
Калинкин, А. В.
К27  
Основы математической теории надежности : методические 
указания к выполнению типового расчета / А. В. Калинкин, 

И. В. Павлов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2017. — 54 [2] с. 
ISBN 978-5-7038-4609-4
Представлены необходимые теоретические сведения и методические 
указания к решению задач по математическим методам теории надежности. Рассмотрены варианты задач типового расчета, для решения которых приведены справочные данные в таблицах.
Для студентов факультетов «Машиностроительные технологии», 
«Робототехника и комплексная автоматизация», «Специальное машиностроение», «Фундаментальные науки», обучающихся в МГТУ 

им. Н.Э. Баумана.
УДК 19.248+519.87
ББК 30.14
Учебное издание
Калинкин Александр Вячеславович, Павлов Игорь Валерианович 
Основы математической теории надежности
Подписано в печать 01.03.2017. Формат 60 ×90/16. 
Усл. печ. л. 3,5. Тираж 100 экз. Изд. № 077-2016. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5, стр. 1.
press@bmstu.ru  www.baumanpress.ru 
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5, стр. 1.
baumanprint@gmail.com
ISBN 978-5-7038-4609-4
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
© Оформление. Издательство
 
МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2017

Предисловие
Методические указания по курсу «Основы математической теории надежности» состоят из четырех глав: показатели надежности 
элемента; расчет надежности невосстанавливаемых систем; расчет 
надежности восстанавливаемых систем; статистическое оценивание показателей надежности. Соответствуют программе подготовки магистров факультета «Фундаментальные науки» по специальности «Прикладная математика».
Цель методических указаний — способствовать получению студентами и аспирантами ряда компетенций, необходимых для исследования и расчета основных показателей надежности современных сложных технических систем.
Критериями достижения указанной цели являются усвоение 
учащимися базовых понятий математической теории надежности, 
определяемых в данном курсе, и решение предлагаемых задач типового расчета как аналитическими, так и вычислительными методами.

1. Показатели надежности элемента 
1.1. Основные понятия 
Под изделием в зависимости от поставленной задачи можно 
понимать отдельную деталь, кинематическую пару, узел, агрегат, 
машину в целом или систему машин.
Работоспособность — состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции, сохраняя значения данных 
параметров в пределах, установленных нормативно-технической 
документацией.
Надежность — способность изделия сохранять во времени свою 
работоспособность при определенных условиях эксплуатации.
Безотказность — способность изделия непрерывно сохранять 
работоспособность в течение некоторого интервала времени в определенных условиях эксплуатации.
Отказ — событие, заключающееся в полной или частичной утрате работоспособности изделия.
Долговечность — способность изделия сохранять работоспособность в течение всего периода эксплуатации при установленной системе технического обслуживания и ремонта.
Ремонтопригодность — приспособленность изделия к предупреждению, обнаружению и устранению отказов.
1.2. Показатели надежности невосстанавливаемого элемента 
Невосстанавливаемый элемент работает или хранится до наступления отказа, после чего его свойства не восстанавливаются. Отказ 
представляет собой случайное событие. Время возникновения отказа 
ξ , где ξ  
0, является случайной величиной, ξ  — непрерывная случайная величина. Далее всегда предполагаем, что написанные производные существуют, а интегралы — сходятся.
4

Функция распределения F t
( ) — вероятность того, что момент отказа ξ  элемента наступит до момента времени t  (здесь t 0), 
F t
t
F
F
( ) =
{ < }
(0) = 0,
(
) =1.
P ξ
,  
  
+∞
Плотность распределения вероятностей 
t
f t
F t
F t
f t dt
( ) =
( )
( ) =
( )
.
′
∫
,  
0
Вероятность безотказной работы P t
( ) при t 0  — вероятность 
такого события, когда за установленный промежуток времени [0; )
t  
изделие не откажет: 
∞
P t
t
t
F t
f t dt
P
P

ξ
−
ξ
−
∫
( ) =
{
} =1
{ < } =1
( ) =
( )
.
t
Средняя наработка на отказ (средний ресурс) 
T
tf t dt
=
=
( )
.
Mξ
∞
∫
0
Из определения следует 
∞
∞
∞
∞
∞
T
tdF t
tdP t
tP t
P t dt
P t dt
=
( ) =
( ) =
( )
( )
=
( )
.
0
∫
∫
∫
∫
−
−
+
|
0
0
0
0
Интенсивность отказа λ( )
t  — вероятность того, что изделие, не 
отказавшее до момента времени t, откажет в последующую единицу времени: 
f t
λ( ) =
( )
( ) =
( )
( ).
t
P t
P t
−
′
P t
Выражаем
t
( )
t dt
−∫λ
0
P t
e
( ) =
.
Функция ресурса имеет вид 
t
t
P t
t dt
Λ( ) =
( ) =
( )
.
−
∫
ln
λ
0
Плотность распределения ϕ( )
x  и функция распределения Φ( )
x  
стандартного нормального закона 
	
5

x
−
−
( ) =
1
2 /2
2 /2
x
e
x
e
dt
x
t
,
( ) =
1
.
ϕ
2
2
π
π
−∞
∫
Φ
Далее приведены примеры соответствия плотности вероятностных распределений и вероятности безотказной работы в зависимости от используемого закона распределения.
1. Показательный (экспоненциальный) закон распределения, где 
λ > 0, 
−
          при 
f t
t
t,
= 1
   M
.
      
P t
e
t
( )
0
0;
−
e
t
0,
   при   
λ
ξ
λ
λ
λ

( ) =
=
<



2. Нормальный закон распределения, где −∞
∞
<
<
m
 и σ > 0,  
f t
e
P t
t
m
m
t m
( ) =
1
,
( ) =1
,
=
.
(
)2 /(2 2)
2
πσ
σ
ξ
σ
−
−
−
−






Φ
M
3. Усеченный нормальный закон, где −∞
∞
<
<
m
 и σ > 0,  
t
0
< 0;
при

f t
1


−
−
σ
 при   
 
e
t
t m
( ) =
;  
0
(
)2 /(2 2)
m
2
(1
(
/
))
πσ
σ
−
−
Φ


Φ
σ
P t
t
m
m
( ) = 1
((
)/
)
1
(
/
).
−
−
1
(
/
) ,
=
2
(
/
)
m
m
m
Φ
Φ
−
−
+ −
−
σ
ξ
σϕ
σ
σ
M
4. Распределение Вейбулла — Гнеденко, где α > 0  и λ > 0, 
0
< 0;
t
при
+
λ α
f t
t
( ) =
P t
e
( ) =
,
=
(1 1/
M
Γ
α
ξ
−



).
1/
1
t
α
λ α
−
−
λ
α

t
e
t
0,
при   
λα


5. Распределение Рэлея, где σ > 0,  
при
0
< 0;
t
2 /(2 2)
−
σ
f t
t
( ) =



2 /(2 2)
−
ξ
σ
0,
( ) =
,
t e
t
P t
e
t
2
при   
σ



M =
2 .
σ
π
6. Гамма-распределение, где α > 0  и λ > 0, 
0
< 0;
t
                     при

α
f t


α
λ
∞
∫
P t
f t dt
−
−
,
( ) =
( )
,
=
.
t
e
t
t
( ) =
  при   
λ
Mξ
α
λ
t
( )
0
1
Γ
α


6