Пределы и непрерывность функций

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана
В.В. Дуров, А.В. Мастихин, А.С. Савин
ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ
Методические указания к выполнению 
типового расчета
2-е издание

УДК 517.1 
ББК 22.151.5
          Д84
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1535.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Высшая математика»
Дуров, В. В.
Д84
Пределы и непрерывность функций : методические указания 
к выполнению типового расчета / В. В. Дуров, А. В. Мастихин, А. С. Са- 
вин. — 2-е изд. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2017. — 49, [3] с.
ISBN 978-5-7038-4574-5 
Даны определения и формулировки теорем о пределах числовых 
последовательностей и функций. Подробно разобраны примеры вычисления пределов различных функций. Приведены примеры сравнения 
функций при заданном стремлении аргумента, выделения главных частей функций и использования эквивалентных функций при вычислении пределов. Дана классификация точек разрыва функций. Приведены 
задачи типового расчета.
Для студентов всех факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана.
 УДК 517.1 
ББК 22.151.5
	
	
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4574-5 	
                                            МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017

1. Предел числовой последовательности
Определение 1. Если каждому натуральному числу п поставлено в 
соответствие некоторое действительное число хп, то говорят, что задана (числовая) последовательность х1, х2, ... , хn, ... которую обозначают 
{хп}. Отдельные числа xk, k = 1, 2, ... называют членами или элементами 
последовательности {хп}.
Замечание. Как правило, последовательность задается формулой 
для вычисления значений ее членов по их номерам.
Пример 1. Формула x
n
n
n =
+1  задает числовую последовательность 
1
2
2
3
3
4
1
,
,
,
,
,
.


n
n+
Определение 2. Число а называется пределом последовательности 
{хп}, если для любого ε > 0 найдется число N = N(ε) такое, что при всех 
п > N выполняется неравенство | хп — a |< ε. При этом пишут lim
,
n
n
x
a
→∞
=
 
или lim хп = а, или хп → а при п → ∞.
В логических символах определению предела последовательности 
можно придать вид 
lim
:
.
n
n
n
x
a
N
N
n
N
x
a
→∞
=
(
) ⇔∀>
∃
=
( ) ∀>
⇒
−
<
(
)
ε
ε
ε
0
Определение 3. Последовательность {хп}, имеющая предел а, называется сходящейся (к числу а). Последовательность, не являющаяся 
сходящейся, называется расходящейся.
Замечание. Доказательство того, что число а является пределом 
последовательности {хп}, обычно начинают с формальной записи неравенства | хп — а | < ε, далее путем различных упрощений находят достаточное условие его выполнения в виде п > N(ε)∀ε > 0.
Точное решение неравенства | хп – а | < ε относительно п для доказательства того, что lim хп = а, в большинстве случаев очень сложно и 
совершенно не обязательно.
3

Пример 2. Доказать, что последовательность x
n
n
n =
−
+
2
1
3
1  сходится к 
числу a = 2
3,  определив для каждого ε > 0 число N = N(ε) такое, что 

| хп — а | < ε при всех п > N(ε). Заполнить таблицу:
ε
0,1
0,01
0,001
N(ε)
Решение. Из цепочки соотношений
x
a
n
n
n
n −
=
−
+ −
=
+
(
) <
2
1
3
1
2
3
5
3 3
1
ε
следует, что для любого ε > 0 неравенство | хп — а | < ε выполняется при 
всех n
N
>
−





=
( )
1
3
5
3
1
ε
ε .  Вычислив N(ε) при значениях, равных 0,1, 
0,01 и 0,001, заполняем таблицу:
ε
0,1
0,01
0,001
N(ε)
5
55
555
Пример 3. Показать, что последовательность x
n
n
n
n =
+
2
2
sin
 имеет 
n
предел а — 1.
Решение. Оцениваем модуль разности
2
n −
=
+
−
=
≤
<
2
1
1
sin
sin
.
ε
x
a
n
n
n
n
n
n
n
Очевидно, последнее неравенство 1
n < ε  в этой цепочке выполняn
n
x
→∞
=1
ется при n
N
>
=
( ) ∀>
1
0
ε
ε
ε
, это и означает, что lim
.
4

Многие оценки основаны на формуле бинома Ньютона:
∀
∈
∀∈
a b
n
,
,
,
R
N
n
n
n
+
(
) =
=
+
+
+
−
−
a
b
C a
b
C a
C a
b
C b
n
n
k
n k
k
n
n
n
n
n
k
0

,
=
∑
0
1
1
где так называемые биномиальные коэффициенты Cn
k  подсчитываются по формуле
!
!
!.
С
n
k n
k
n
k =
−
(
)
В частности, при а = 1, b > — 1, удержав в правой части формулы 
бинома Ньютона лишь два слагаемых, получим неравенство Бернулли
	
(1 + b)п ≥ 1 + пb.	
(1) 
Определение 4. Если lim
n
n
x
→∞
= 0 , то последовательность {хп} называется бесконечно малой.
2. Свойства сходящихся последовательностей
Теорема 1. Последовательность {хп} имеет предел а тогда и только 
тогда, когда хп = а + αп, где {αп} — бесконечно малая последовательность.
Пример 4. Показать, что последовательность хп = qn, где | q | < 1, 

является бесконечно малой.
Решение. При q = 0 это очевидно. Пусть 0 < |q| < 1. Воспользовавшись неравенством Бернулли (1), получим цепочку соотношений
n
=
+
−

	
1
1
1
1
1
1
1
1
1
q
q
n
q
n
q
n










>
−





,




≥+
−

из которой следует, что
<
0
1
1
1
ε
n
n
−
=
<
−

	
q
q
n
q





5

при
	
n
=
( )
1
1
1
ε
ε .
N
>
−

q





Это и означает, что lim
.
n
n
q
→∞
= 0
Теорема 2. Если последовательности {хп} и {yп} сходятся и, начиная с некоторого номера п0, выполняется неравенство хп ≤ уп, то 
lim
lim
.
n
n
n
n
x
y
→∞
→∞
≤
Замечание. Из неравенства хп < уп не следует, что lim
lim
,
n
n
n
n
x
y
→∞
→∞
<
 а 
следует лишь нестрогое неравенство lim
lim
.
n
n
n
n
x
y
→∞
→∞
≤
n = 1. Очевидно, что хп < уп при всех п, но 
Пример 5. Пусть хп = 0, y
n
lim
lim
.
n
n
n
n
x
y
→∞
→∞
=
= 0
Теорема 3 (о пределе «зажатой последовательности»). Если члены 
последовательностей {хп}, {yn}, {zп}, начиная с некоторого номера п0, 
удовлетворяют неравенствам хп ≤ yn ≤ zп и при этом lim
lim
,
n
n
n
n
x
z
a
→∞
→∞
=
=
 то 
последовательность {yn} сходится к числу а.
Пример 6. Показать, что последовательность x
n
n
n =
+ −
1
 бесконечно малая.
Решение. Из соотношений
n
<
<
x
n
n
n
n
	
0
1
1
1
2
1
<
=
+ +
видно, что последовательность зажата бесконечно малыми последова, таким образом, lim
.
n
n
x
→∞
= 0
тельностями {0} и 
1
n






Определение 5. Последовательности {хп + уп}, {хп — уп}, {хп уп}, 

n
 называются соответственно суммой, разностью, произведением 
x
y
n






и частным последовательностей {хп} и {yn}. В случае частного предполагается, что {yn} ≠ 0 при п = 1, 2, ... .
Теорема 4. Если lim
,
n
n
x
a
n
n
y
b
n
n
n
x
y
a
b
→∞
=
 lim
,
→∞
=
 то lim
;
→∞
±
(
) =
±
 
n
lim
;
n
n
n
x y
ab
→∞(
) =
 lim
,
.
n
x
y
a
b
b
→∞

n




=
≠0
6