Уравнения Лагранжа второго рода

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
В.В. Витушкин, Г.И. Дубровина, Г.М. Максимов
Уравнения Лагранжа второго рода
Методические указания к выполнению курсового задания 
по дисциплине «Теоретическая механика»
Под редакцией В.В. Дубинина

УДК 521.3
ББК 22.213
	
В54
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book1499.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Теоретическая механика»
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве методических указаний 
Рецензент 
канд. физ.-мат. наук, доцент А.В. Копаев
Витушкин, В. В.
В54	
	
Уравнения Лагранжа второго рода: методические указания 
к  выполнению курсового задания по дисциплине «Теоретическая механика» / В. В. Витушкин, Г. И. Дубровина, Г. М. Максимов; под ред. В. В. Дубинина. — Москва : Издательство МГТУ 
 
им. Н. Э. Баумана, 2017. — 58, [6] с.: ил. 
ISBN 978-5-7038-4571-4
Приведены краткие теоретические сведения, даны пояснения 
особенностей расчетов кинетической энергии и обобщенных сил для 
типовых элементов механических систем, представлены примеры решения задач курсового задания.
Для студентов машиностроительных и приборостроительных 
специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих раздел «Аналитическая механика» дисциплины «Теоретическая механика».
УДК 521.3
ББК 22.213
ISBN 978-5-7038-4571-4
©	 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
©	 Оформление. Издательство  
	
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Предисловие
Методические указания предназначены в помощь студентам при 
выполнении курсового задания по теме «Уравнения Лагранжа второго рода» и посвящены определению кинетической и потенциальной 
энергии механических систем, вычислению обобщенных сил, а также 
получению дифференциальных уравнений движения систем с помощью уравнений Лагранжа второго рода. 
Условия вариантов по указанному курсовому заданию со схемами 
механических систем приведены в работе [1]. Там же даны краткие 
теоретические сведения по данной теме и предложена последовательность действий при выполнении задания.
В первом разделе данных методических указаний рассмотрены 
методы получения выражений кинетической энергии на примерах 
простых типовых схем механических систем.
Во втором разделе предложены способы определения потенциальной энергии механических систем, возможных перемещений точек приложения активных сил и возможных работ этих сил, а также 
составления выражений для обобщенных сил системы.
В третьем разделе даны примеры выполнения курсового задания.
В качестве основного и дополнительных пособий по теме «Уравнения Лагранжа второго рода» можно использовать учебник [2] и методические работы [3—5].
В результате изучения материалов данных указаний студенты овладеют умением составлять дифференциальные уравнения движения 
механических систем с двумя степенями свободы. 

1. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ 
КУРСОВОГО ЗАДАНИЯ
При выполнении курсового задания необходимо составить дифференциальные уравнения движения механической системы с двумя 
степенями свободы с помощью уравнений Лагранжа второго рода
	
d
dt
T
q
T
q
Q
i
∂
∂

i
i




−∂
∂
=

 (i = 1,2),	
(1)
где T — кинетическая энергия системы в ее абсолютном движении 
в зависимости от обобщенных скоростей и координат; qi и 
qi — i-е 
обобщенные координата и скорость; Qi — обобщенная сила, соответствующая координате qi.
Обобщенными координатами называются независимые параметры, однозначно определяющие положение механической системы в 
выбранной системе отсчета. В качестве обобщенных координат могут 
быть приняты угловые координаты тел или линейные (декартовы) 
координаты точек механической системы. Для голономных систем 
число независимых обобщенных координат равно числу степеней 
свободы. В данном курсовом задании число n степеней свободы и 
соответственно число обобщенных координат равно двум. Следует 
отметить, что для каждого варианта курсового задания в работе [1] 
предложены предпочтительные обобщенные координаты q1 и q2.
При выполнении курсового задания необходимо: 1) для текущего момента времени вычислить кинетическую энергию T элементов 
системы, учитывая выражения их скоростей и координат через обобщенные скорости и координаты; 2) рассчитать обобщенные силы Qi, 
соответствующие обобщенным координатам qi; 3) подставив в (1) 
полученные функции T и Qi, записать дифференциальные уравнения 
движения системы.
Для упрощения вывода аналитических выражений кинетической 
энергии механической системы и обобщенных сил рассматривается 
текущее положение системы, в котором значения координат q1, q2, 
4

обобщенных скоростей 
q1, 
q2  и вариаций обобщенных координат  δq1 
и δq2  принимают положительными. При этом для вычисления кинетической энергии системы следует определять скорости (линейные 
и угловые), входящие в выражения кинетической энергии каждого 
тела, через обобщенные скорости и координаты с помощью уравнений кинематических связей, начиная от тел, положение которых 
характеризуется обобщенными координатами, в последовательности 
передачи движения от тела к телу.

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ  
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
При решении задач курсового задания кинетическую энергию 
системы находят как сумму кинетических энергий ее N элементов 
(материальных точек и тел), различая простое и сложное движение 
элементов, поступательное, вращательное и плоское движение твердых тел: 
N
=
	
T
Tk
k
=
∑
1
.	
Кинетическую энергию k-й материальной точки системы определяют по формуле
2
	
T
m v
k
k
k
=
2
,  	
(2)
где mk — масса точки; vk — скорость точки.
Кинетическую энергию твердого тела в различных случаях его 
движения можно вычислить по формулам, приведенным ниже.
При поступательном движении тела
2
	
T
Mv
=
2 ,  	
(3)
где M — масса твердого тела; v — скорость любой точки тела, например скорость его центра масс.
При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Oz 
	
T
IOz
=
ω2
2
,  	
(4)
где IOz — момент инерции твердого тела относительно оси вращения Oz; ω — угловая скорость его вращения.
При плоском движении твердого тела
2
2
ω , 	
(5)
	
T
Mv
I
C
Cz
=
+
2
2
6

где vC  — скорость центра масс тела; ICz  — момент инерции твердого 
тела относительно оси Cz, проходящей через его центр масс (точку C) 
и перпендикулярной плоскости движения.
Линейные и угловые скорости в соотношениях (2)—(5) необходимо с помощью уравнений кинематических связей данной системы 
выразить через угловые скорости тел и линейные скорости точек, 
положение которых характеризуется обобщенными координатами, в 
последовательности передачи движения от тела к телу.
Рассмотрим примеры расчета кинетической энергии механических систем.
Пример 1 
Механическая система (рис. 1) состоит из двух прямоугольных 
призм 1 и 2, соединенных друг с другом посредством пружины 3, 
один конец которой закреплен на призме 2, а другой — на стойке 4 
призмы 1. Призма 1 может перемещаться по горизонтальной неподвижной поверхности 5, а призма 2 — по верхней поверхности призмы 1, деформируя пружину 3. Движения обеих призм являются поступательными и могут рассматриваться как движения материальных 
точек, причем движение призмы 2 является сложным, состоящим из 
переносного движения вместе с призмой 1 и относительного движения — относительно призмы 1.
Рис. 1
В качестве обобщенных координат системы примем координату x1 
для призмы 1 в ее абсолютном движении относительно поверхности 5 
и координату x2 для призмы 2 в ее движении относительно призмы 1, 
т. е. q1 = x1 и q2 = x2.
Абсолютную скорость v2  призмы 2 в соответствии с кинематикой 
сложного движения материальной точки определим по уравнению
7