Основная теорема алгебры

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
А.Н. Щетинин, В.А. Кутыркин 
Основная теорема алгебры 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 519.8 
ББК 22.141 
 
Щ70 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/93/book1576.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Прикладная математика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
 
 
Щетинин, А. Н. 
Щ70  
Основная теорема алгебры: учебное пособие / А. Н. Щетинин, В. А. Кутыркин. — Москва : Издательство МГТУ 
им. Н. Э. Баумана, 2017. — 50, [6] с.  
ISBN 978-5-7038-4547-9 
Изложены основные понятия и математические структуры алгебры; 
основы теории колец, полей и многочленов в том объеме, который необходим для доказательства основной теоремы алгебры.  
Для практического освоения материала разобраны примеры и предложены соответствующие задания для самостоятельного решения.  
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по направлению 
«Математика и компьютерные науки». 
 
  УДК 519.8 
 
  ББК 22.141 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4547-9 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017 
2 

Предисловие 
«Основная теорема алгебры» — название теоремы и утверждение о том, что любой многочлен степени не ниже первой с 
комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.  
В настоящее время оно совершенно устарело: алгебра изучает 
совсем другие элементы, да и доказывать эту теорему уместнее в 
курсе теории функций комплексного переменного, такое доказательство занимает около половины страницы. Тем не менее авторы сочли возможным посвятить названной теореме целое учебное пособие, в котором изложены обычные темы теории колец, 
полей и многочленов, входящие в программу первого курса для 
студентов, обучающихся по направлению «Математика и компьютерные науки» дисциплине «Алгебра». В частности, рассмотрена теория делимости в кольцах и доказана так называемая «Основная теорема арифметики», утверждающая, что всякое натуральное число представимо единственным образом в виде 
произведения простых чисел. «Основная теорема алгебры», доказывающая алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел, 
служит лишь логичным завершением изучения указанных вопросов. В тексте учебного пособия символ ► означает окончание 
замечаний, доказательств и т. п. В пособии приведено доказательство основной теоремы алгебры, использующее симметрические многочлены, которое также подробно изложено в учебнике 
А.И. Кострикина.  
3 

Введение 
Согласно известному высказыванию Л. Кронекера, натуральные числа создал Господь Бог, остальное — дело рук человеческих. Множество натуральных чисел обозначают символом 
.
 
Натуральные числа изучают в 1 и 2 классах средней школы.  
В рамках школьной программы сообщается, что для операций 
сложения и умножения данных чисел справедливы правила, выраженные в переместительном, сочетательном и распределительном 
законах. Для натуральных чисел 
, ,

m n k
 эти законы имеют 
вид: 
,
,
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
.
m
n
n
m
m n
n m
m
n
k
m
n
k
m n
k
m
n k
m
n
k
m k
n k






















 
Однако оказывается, что натуральных чисел недостаточно для 
компьютерных приложений, поскольку в области натуральных чисел неразрешимо уравнение 
1
0.
x 
 При необходимости решать 
подобные уравнения приходится расширять систему натуральных 
чисел и вводить целые числа, множество которых обозначают 
символом 
.
 При этом сохраняются все указанные выше свойства 
арифметических операций, но среди целых чисел нет решения 
уравнения 2
1.

x
 Вследствие этого приходится вводить систему 
рациональных чисел с теми же свойствами арифметических операций, что и в системе целых чисел. Множество рациональных чисел обозначают символом 
.
 Пытаясь решить уравнение 
2
2
0,


x
 понимаем, что необходимо использовать систему действительных чисел, множество которых обозначают символом 
.
 
Как и ранее, в рамках системы действительных чисел справедливы 
обычные свойства арифметических операций сложения и умножения, но в ней невозможна операция извлечения арифметического 
корня из неотрицательного действительного числа. Наконец, рассматривая уравнение 
2
1
0,

x
 понимаем, что необходимо рас4 

ширить систему действительных чисел, где возможно извлечение 
арифметического корня из отрицательных действительных чисел. 
Оказывается, что такое расширение существует в виде системы 
комплексных чисел 
,
 в которой разрешимы все алгебраические 
уравнения. Доказательству этого утверждения и посвящено 
настоящее учебное пособие. 
5 

1. Кольца, подкольца, факторкольца 
Кольцом (ассоциативным кольцом) называют множество 
(
, , )


K
K
 с двумя бинарными операциями (сложения и умножения), для которых при любых элементах 
, ,

x y z
K  выполнены 
следующие условия: 
• (
)
(
);





x
y
z
x
y
z
 
• 
;



x
y
y
x  
• существует такой элемент 0 K  (нуль кольца), что  
0
;


x
x  
• существует такой элемент x  (противоположный к x  элемент), что  
0;


x
x
 
• (
)
(
);





x y
z
x
y z
 
• 
(
)
,
(
)
.












x
y
z
x y
x z
y
z
x
y x
z x  
В свою очередь стоит учитывать, что если: 
• 
,
x y
y x



 то кольцо называется коммутативным; 
• существует элемент 1K  (единица кольца), где 
1
1
,


x
x
x  
то кольцо является кольцом с единицей. 
Пример 1.1. Множество  с обычными операциями сложения 
и умножения есть коммутативное кольцо с единицей. Множества 
 и  c обычными операциями также являются кольцами. ► 
Пример 1.2. Множество 
( , )
n
L 
 квадратных матриц размера 

n
n  с действительными коэффициентами есть кольцо с единицей 
относительно операций сложения и умножения матриц. Это кольцо при 
1

n
 некоммутативно. ► 
6