Основы теории вероятностей и математической статистики

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
Н.М. Меженная 
Основы теории вероятностей  
и математической статистики 
Курс лекций  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 511.7 
ББК 22.13 
 
М43 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/93/book1530.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Прикладная математика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
 
 
Меженная, Н. М. 
М43  
 Основы теории вероятностей и математической статистики : курс лекций / Н. М. Меженная. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 108, [4] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4521-9 
Представлен подробный конспект лекций по дисциплине «Основы теории вероятностей и математической статистики» с примерами и иллюстрациями. Издание содержит необходимые сведения о случайных событиях и 
способах вычисления их вероятностей, дискретных и абсолютно непрерывных случайных величинах и их числовых характеристиках, двумерных случайных векторах. Рассмотрены базовые сведения о законе больших чисел и 
центральной предельной теореме, а также введение в математическую статистику. Наряду с классическими результатами материал содержит информацию о современном уровне исследований в данной области. 
Для студентов 2‒3 курсов технических специальностей, приступающих 
к изучению теории вероятностей и математической статистики. 
 
 
   УДК 511.7 
 
   ББК 22.13 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4521-9 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
2 

Предисловие 
Учебное пособие представляет собой курс лекций по дисциплине 
«Основы теории вероятностей и математической статистики», предусмотренный учебным планом МГТУ им. Н.Э. Баумана. В пособии подробно изложен материал по указанной дисциплине с примерами и 
иллюстрациями, который является дополнением к курсу «Основы 
теории вероятностей и математической статистики». 
Пособие состоит из 5 глав, каждая глава посвящена отдельной теме, содержит необходимые сведения теоретического характера и 
примеры, иллюстрирующие возможность их применения. Сведения о 
случайных событиях и способах вычисления их вероятностей содержит глава 1, дискретных и абсолютно непрерывных случайных величинах и их числовых характеристиках — глава 2, двумерных случайных векторах — глава 3, базовые сведения о законе больших чисел и 
центральной предельной теореме — глава 4. Введение в математическую статистику изложено в главе 5.  
Каждый пример заканчивается символом ▲. В конце доказательств стоит символ ■. 
3 

Введение 
Теория вероятностей — это наука, изучающая случайные явления, т. е. такие явления, при изучении которых нужно учитывать фактор неопределенности.  
В основе теории вероятностей лежит свойство статистической 
устойчивости частот. Пусть в результате случайного эксперимента 
событие A может произойти или не произойти. Эксперимент проводится n раз, причем каждый раз в одних и тех же условиях и независимо (в дальнейшем будем говорить, что проведено n испытаний). 
Обозначим через n(A) — число появлений события A в n независимых 
испытаниях. Число n(A) называется частотой события A в n испытаниях, а отношение n(A)/n — относительной частотой события A. 
При больших n относительная частота n(A)/n обычно колеблется около некоторого числа 
,
A
p
 называемого статистической вероятностью события A. Отсутствие устойчивости частот в серии испытаний 
указывает скорее всего на то, что условия проведения испытаний не 
остаются постоянными.  
Результаты теории вероятностей разумно относить к тем явлениям, которые носят массовый характер, т. е. к экспериментам, которые 
на практике могут быть повторены неограниченное число раз при одних и тех же условиях.  
Первые работы по теории вероятностей относятся к середине 
XVII в. Б. Паскаль, П. Ферма и Х. Гюйгенс провели исследования в 
связи с изучением различных закономерностей в азартных играх.  
В 1713 г. Я. Бернулли опубликовал закон больших чисел для схемы 
независимых испытаний с двумя исходами. Такие испытания впоследствии получили название испытаний Бернулли. С этого момента 
теория вероятностей развивалась очень динамично, что было обусловлено применением ее результатов в естествознании, на первом 
этапе главным образом в астрономии, геодезии и теории стрельбы.  
Сейчас трудно представить себе область человеческого знания, в 
которой не использовались бы результаты теории вероятностей.  
В последнее время все большее значение приобретает использование 
теории вероятностей на практике. 
4 

1. Случайные события 
1.1. Пространство элементарных исходов.  
Операции над случайными событиями 
Элементарным исходом будем называть любой простейший 
(неразложимый) исход некоторого случайного эксперимента, а совокупность всех возможных исходов — пространством элементарных исходов. В теории вероятностей пространство элементарных исходов принято обозначать буквой , a его элементы (элементарные исходы) — 
1
2
,
,


 
Пример 1.1. Рассмотрим случайный эксперимент — однократное подбрасывание игральной кости. Исход, состоящий в выпадении , 1
6
i
i

 очков в результате эксперимента, нельзя представить через какие-либо более элементарные события, поэтому он 
является элементарным. Пусть 
,
1,
, 6,
i i



 — выпадение i очков. Тогда пространство элементарных исходов — это множество, 
содержащее все элементарные исходы 
1
6
{
,
,
}.

 ▲ 
Пример 1.2. Пусть подбрасывают две симметричные монеты. 
Если монеты считать неразличимыми, то возможные элементарные 
исходы, такие как 
1
 — выпадение двух гербов, 
2
 — выпадение 
двух решеток, 
3
 — выпадение герба и решетки. В этом случае 
пространство элементарных исходов состоит из этих трех точек.  
Если монеты считать различимыми, то элементарные исходы 
будут выглядеть следующим образом: исходы 
1
 и 
2
 останутся 
без изменения, 
3
 — выпадение герба на первой монете, решетки — на второй, 
4
 — выпадение решетки на первой монете, 
герба — на второй. Здесь пространство элементарных исходов 
состоит уже из четырех точек. ▲ 
Так какую же из двух моделей следует использовать на практике? Экспериментальные данные показывают, что реальному 
эксперименту с подбрасыванием монет лучше соответствует вторая модель. 
5 

Исторически первым был рассмотрен случай конечного пространства элементарных исходов. И мы остановимся сначала на 
нем. Пусть 
|
|.

n
  
Случайным событием называется любое подмножество пространства элементарных исходов . Для обозначения событий 
обычно используются заглавные латинские буквы 
,
,
,
A B C   
Будем говорить, что в результате эксперимента наступило событие A, если он закончился элементарным исходом A  (исход 
 благоприятствует событию A). В противном случае будем говорить, что наступило событие, противоположное событию A (будем его обозначать 
).
A  Очевидно, что 
.
A
A

 
Пример 1.1 (продолжение). Рассмотрим тот же эксперимент с 
бросанием игральной кости. Примерами случайных событий будут: A — выпадение числа очков, не превосходящего 4, B — выпадение четного числа очков, C — выпадение числа очков, кратного 3. Эти события можно представить в виде объединения элементарных исходов: 
1
2
3
4
2
4
6
3
6
{
,
,
,
},
{
,
,
},
{
,
}.
A
B
C






 
▲ 
Событие, которое происходит всегда, будем называть достоверным и обозначать так же, как и пространство элементарных исходов . Событие, которое никогда не наступает в результате проведения опыта, будем называть невозможным и обозначать 
.
 
Поскольку в случае конечного пространства элементарных 
исходов  случайные события — это любые его подмножества, 
то к ним применимы операции теории множеств. В дальнейшем 
будем считать, что если речь идет о нескольких случайных событиях, то все они лежат в одном и том же пространстве элементарных исходов, т. е. связаны с одним и тем же случайным экспериментом. 
Объединением событий A и B называется событие  
{
:
 или 
}.




C
A
B
A
B
 
Пересечением  A и B называется событие  
{
:
  
}.




C
A
B
A и
B
 
Обычно для упрощения записи символ  опускают и вместо 

A
B  пишут AB. 
6 

Разностью событий A и B называется событие  
\
{
:
   
}.



C
A B
A и
B
 
Говорят, что событие A влечет за собой B (будем обозначать 
это как 
),

A
B  если всякий раз, когда происходит событие A, 
происходит и B. 
Указанные соотношения между событиями, которые при- 
нято называть диаграммами Эйлера — Венна, иллюстрирует 
рис. 1.1, а–в. 
  
Рис. 1.1. Диаграммы Эйлера — Венна 
События A и B называются несовместными, если 
.


A
B
 
Теорема 1.1. Принцип двойственности для двух событий, 
или правило де Моргана. Пусть 
,
.

A B
 Тогда 
1) 
;


AB
A
B  
2) 
.


A
B
AB  
Пример 1.3. Пусть 
, ,

A B C
 — случайные события. Записать выражения для событий: D — произошло хотя бы одно событие из A, B, C; E — произошло два события из A, B, C. Так как 
D  — из трех событий не произошло ни одного, то 
.

D
ABC  Тогда, пользуясь принципом двойственности (теорема 1.1), имеем 
.




D
ABC
A
B
C  
Перебирая возможные случаи, когда произошло ровно два события, получим 
.
E
ABC
ABC
ABC



 ▲ 
1.2. Основные формулы комбинаторики  
При подсчете числа элементарных исходов, обладающих заданными свойствами, используются формулы комбинаторики.  
В их основе лежат следующие принципы. 
7 

Пусть имеются две группы по 
1
n  и 
2
n  элементов. Очевидно, 
что один элемент из i-й группы можно выбрать 
i
n  способами, 
1, 2.
i 
 Значит, число способов, которыми можно выбрать один 
элемент из двух групп, равно 
1
2

n
n  (принцип сложения).  
Число способов выбрать два элемента, по одному из каждой 
группы, будет равно 
1
2.
n n  Действительно, каждому выбору элемента первой группы соответствует 
2
n  способов выбрать элемент 
второй группы. Остается просуммировать по числу элементов в 
первой группе и получить требуемый результат. Этот результат 
можно обобщить на случай m групп элементов. Описанное правило носит название основной формулы комбинаторики, или принципа умножения. 
Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть имеется n 
различимых элементов, которые будем называть генеральной совокупностью. Без ограничения общности, различимые элементы 
можно считать пронумерованными числами 1, 2,
, .
n

 Из них выбираем m элементов. Выбранные элементы принято называть выборкой объема m из n элементов. Часто для краткости говорят: 
выборка из n по m (элементов). 
Существуют следующие наиболее простые и часто используемые правила выбора элементов. 
1. Выбор с возвращением — каждый раз выбранный элемент 
возвращается обратно в генеральную совокупность (в выборке при 
этом может быть любое число повторений). 
2. Выбор без возвращения — после выбора элемент удаляется 
из генеральной совокупности (в выборке все элементы будут различны). 
Кроме того, есть следующие правила построения выборок:  
• упорядоченный выбор — элементы извлекаются по одному и 
их номера фиксируются в порядке следования; 
• неупорядоченный выбор — номера элементов фиксируются 
без учета порядка их следования. 
Выборку, в которой учитывается порядок следования элементов, принято называть размещением, а выборку, в которой порядок 
следования не учитывается, — сочетанием. 
Каждому правилу выбора может отвечать любой из двух способов построения выборок. 
Число различных выборок из n элементов по m приведено в 
таблице. 
8 

Выборка из n элементов по m 
Выборка 
Без возвращения 
С возвращением 
Размещения 
!
(
1)
(
1)
(
)!
m
n
n
A
n n
n
m
n
m







 
m
m
n
A
n

 
Сочетания 
!
!
!(
)!
m
n
m
n
A
n
C
m
m n
m



 
1
m
m
n
n m
C
C 


 
 
Пользуясь основной формулой комбинаторики, выясним, почему это так. При упорядоченном выборе m элементов из n с возвращением каждый элемент выбирается n способами. Значит, общее число различных выборок объема m будет 
.
m
m
n
A
n

 При размещениях без возвращения первый элемент выбирается из n 
элементов, после чего он удаляется из генеральной совокупности. 
Значит, второй элемент выбирается из совокупности в 
1

n
 элемент и т. д. Согласно основной формуле комбинаторики, число 
различных выборок объема m будет  
!
(
1)
(
1)
.
(
)!
m
n
n
A
n n
n
m
n
m







 
Из этой формулы следует, что число способов перестановки n 
элементов между собой 
(
1)
1
!.
n
n
A
n n
n




 Поэтому упорядоченную выборку из n элементов по n без возвращения принято 
называть перестановкой из n элементов. 
Каждому сочетанию без возвращения соответствует 
!
m  различных размещений без возвращения. Значит, общее число сочетаний будет в 
!
m  меньше, чем размещений, и 
 
!
.
!
!(
)!
m
n
m
n
A
n
C
m
m n
m



 
(1.1) 
Числа 
m
n
C
 называются биномиальными коэффициентами, так 
как они равны коэффициентам в разложении бинома Ньютона 
(
) .

n
a
b
 Из определения (1.1) можно вывести следующие свойства: 
0
1
,
1,
.
m
n m
n
n
n
n
C
C
C
C
n




 
9 

В случае сочетаний с возвращением выборка может быть 
представлена следующим образом. Обозначим через j  частоту 
появления элемента с номером j в выборке, 
1,
,
j
n


 (если j-й 
элемент в выборке не встречается, то естественно считать 
0).
j

 
Тогда 
1



n
m  и 
0.
j

 Значит, выборка представляется в 
виде вектора 
1
(
,
,
).
n



 Запишем последовательность из единиц и 
нулей следующего вида:  
 


n
единиц
единиц
единиц






 
(1.2) 
1
2
11
1 0 1
11 0
0 11
1
В ней сформированы группы по j  единиц. Если 
0,
j

 то на соответствующем месте ничего не пишем. Нули стоят для разделения групп из единиц. В такой последовательности m единиц и 
1

n
 нуль, число различных сочетаний с возвращением совпадает 
с числом различных последовательностей вида (1.2), т. е. 
1.
m
n m
C 
 
Отсюда следует, что число целых неотрицательных решений 
диофантова уравнения 
1



n
m  будет 
1.
m
n m
C 
 
Пример 1.4. Сколько можно записать восьмизначных последовательностей, используя цифры 0–9? 
При записи последовательностей имеет значение не только состав цифр, но и их порядок, при этом цифры могут повторяться. 
Поэтому число различных чисел равно числу размещений с возвращениями из 10 элементов по 8: 
8
8
10
10 .

A
 ▲ 
Пример 1.5. Сколько существует фишек домино? 
Каждая фишка разделена на две половинки, на каждой из которых имеется от 1 до 6 точек или она пустая. Естественно, половинки не упорядочены между собой. Значит, общее число фишек 
равно числу сочетаний с возвращением из 7 (число точек от 0 до 6) 
элементов по 2 (число половинок) 
2
2
2
7
7 2 1
8
8!
28.
2!6!
C
C
C





 ▲ 
Пример 1.6. В урне находится 5 белых и 4 черных шара. 
Сколькими способами можно выбрать а) три шара; б) три шара, 
чтобы в выборке присутствовали оба цвета? Считается, что шары 
выбираются без возвращения, а шары одно и того же цвета неразличимы. 
10