Численные методы решения задач математической физики

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана
И. К. Марчевский, О. В. Щерица
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Методические указания к выполнению
лабораторных работ по курсу
«Методы вычислений»
Под редакцией М. П. Галанина

УДК 519.6
ББК 32.97
М30
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/93/book1559.html
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Прикладная математика»
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н. Э. Баумана
в качестве методических указаний
Р е ц е н з е н т
канд. техн. наук, доц. А. В. Котович
М30
Марчевский, И. К.
Численные методы решения задач математической физики :
методические указания к выполнению лабораторных работ по
курсу «Методы вычислений» / И. К. Марчевский, О. В. Щерица;
под ред. М. П. Галанина. — Москва : Издательство МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2016. — 63, [1] с.
ISBN 978–5–7038–4474–8
Лабораторный практикум по курсу «Методы вычислений» ориентирован на изучение численных методов решения задач математической
физики, а также дифференциальных и интегральных уравнений. Приведены примеры заданий, сформулированы контрольные вопросы и
требования, предъявляемые к отчетам по лабораторным работам.
Для студентов 3-го курса, обучающихся по направлению подготовки бакалавров «Прикладная математика».
УДК 519.6
ББК 32.97
c
⃝
c
⃝
ISBN 978–5–7038–4474–8
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016
Оформление. Издательство
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016

Предисловие
Курс «Методы вычислений» занимает одно из центральных
мест в цикле дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки бакалавров, обучающихся по направлению
«Прикладная математика». Лабораторный практикум составлен
в соответствии с учебной программой дисциплины, рассчитан
на один семестр и предполагает выполнение пяти лабораторных
работ. Задачами лабораторного практикума являются изучение
численных методов и алгоритмов, их использование для решения прикладных задач и получение навыков вычислительного
программирования.
Для успешного выполнения заданий необходимо знание следующих дисциплин, включенных в учебный план специальности
«Прикладная математика»: математический анализ, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, функциональный анализ
и интегральные уравнения, методы вычислений (в объеме первого
семестра), информатика, практикум по математическим пакетам.
Выполнение лабораторных работ включает написание программ, реализующих соответствующие численные методы, и подготовку отчета. Содержание отчетов приведено в заданиях к лабораторным работам.
На защите лабораторной работы студент должен продемонстрировать знание теории численных методов в необходимом
объеме и умение применять ее на практике. Способ проведения
защиты определяется преподавателем. При подготовке к защите рекомендуется использовать контрольные вопросы, приведенные в конце каждого задания.
Объем лабораторных работ достаточно велик, поэтому рекомендуется выполнять их последовательно в течение всего
семестра в соответствии с материалом, изучаемым на лекциях
и практических занятиях. Рекомендуемый график защиты лабораторных работ приведен в таблице.

Предисловие
№
п/п
Тема лабораторной работы
Неделя
защиты
4
1
Методы численного решения обыкновенных
дифференциальных уравнений
7
2
Численное решение краевых задач для
одномерного уравнения теплопроводности
10
3
Численное решение краевых задач для
одномерного волнового уравнения
13
4
Численное решение краевых задач для
двумерного уравнения Пуассона
16
5
Методы численного решения интегральных
уравнений
Написание программ допускается на любом языке программирования (C/C++, Pascal/Delphi, Fortran и др.). Во всех случаях предполагается, что для хранения в памяти компьютера чисел
с плавающей точкой следует использовать тип данных, обеспечивающий повышенную точность. В языках программирования
C/C++ и Pascal/Delphi это соответствует типу double.
При выполнении лабораторных работ целесообразно пользоваться вычислительными процедурами, реализованными в ходе
выполнения лабораторных работ предыдущего семестра. К таким процедурам относится, в частности, решение систем линейных алгебраических уравнений. В свою очередь, реализованные
в рамках выполнения данных лабораторных работ вычислительные процедуры могут быть полезны при освоении последующих
дисциплин учебного плана. Поэтому рекомендуется разрабатывать соответствующие программные модули достаточно гибко,
имея в виду их возможное использование в будущем.
Авторы выражают искреннюю благодарность за полезное
обсуждение текста пособия и помощь в подготовке заданий для
лабораторных работ своим коллегам, а также студентам кафедры
«Прикладная математика» МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Лабораторная работа №1
Методы численного решения обыкновенных
дифференциальных уравнений
Цель работы
Изучение численных методов решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Содержание работы
Рассмотрим задачу Коши1 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
d⃗
u
dt =⃗
f(t, ⃗
u),
t ∈[t0, T]
(1.1)
с начальным условием
⃗
u(t0) =
(
u1(t0), u2(t0), ..., un(t0)
)T = ⃗
u0.
(1.2)
Здесь n — порядок системы дифференциальных уравнений.
Предполагается, что условия теоремы существования и единственности решения задачи (1.1)–(1.2) выполнены.
Требуется выполнить следующие действия.
1. Написать программу для численного решения задачи Коши
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка (1.1)–(1.2) следующими методами:
1 Огюст´
ен Лу´
и Кош´
и (1789–1857) — великий французский математик,
разработал фундамент современного математического анализа, внес огромный
вклад в алгебру, математическую физику и многие другие области математики.

Лабораторная работа №1
• методом Рунге2 — Кутты3 четвертого порядка точности;
• методом Адамса4 — Башфорта5 четвертого порядка
точности;
• методом «прогноз-коррекция» четвертого порядка точности.
2. В программе, реализующей метод Рунге — Кутты, предусмотреть процедуру автоматического выбора шага интегрирования, обеспечивающую заданную точность решения.
Точность контролировать по правилу Рунге.
3. На тестовых примерах(имеющих точное аналитическое
решение) продемонстрировать работоспособность созданных программ. В качестве одного из тестовых примеров
взять уравнение малых колебаний маятника. Повторить
численное исследование фазовой плоскости и фазовых траекторий, проведенное в настоящем пособии на стр. 10,
и дополнить его расчетами с использованием методов второго порядка точности. Для всех методов найти величину шага по времени, обеспечивающую точность решения
ε = 10−2, 10−4, 10−7.
4. Экспериментально исследовать свойства методов: подтвердить расчетами, что точность метода совпадает с порядком
аппроксимации. Сравнить методы по трудоемкости.
5. Для своего варианта задания на фазовой плоскости (u1, u2)
построить фазовые траектории системы. Численно исследовать фазовый портрет вблизи особых точек системы.
2 Карл Дав´
ид Тольм´
е Р´
унге (1856–1927) — немецкий математик, физик
и спектроскопист, разработал методы численного интегрирования ОДУ, получил фундаментальные результаты в теории полиномиальной интерполяции,
функциональном анализе, векторном анализе.
3 М´
артин Вильг´
ельм К´
утта (1867–1944) — немецкий математик, соавтор
семейства методов численного интегрирования ОДУ и фундаментального принципа аэродинамики (условие Чаплыгина — Жуковского — Кутты).
4 Джон Куч
´
Адамс (1819–1892) — британский математик и астроном,
изучал вопросы численного интегрирования ОДУ, предсказал существование
и положение в пространстве Нептуна.
5 Фр´
энсис Б´
ашфорт (1819–1912) — британский математик и баллистик, исследовал движение снарядов в воздухе, форму капель жидкости под действием
поверхностного натяжения, занимался инженерными расчетами в строительстве.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
7
Методические указания
Общие сведения о задаче Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений
Обычно задача Коши возникает при анализе процессов, эволюция которых однозначно определяется начальным состоянием.
Примерами таких процессов являются динамика механических
систем, большинство химических реакций и пр.
Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно
старшей производной:
u(n) = f(t, u, u′, ..., u(n−1)),
t ∈[t0, T],
u(t0) = u0, u′(t0) = u′
0, ..., u(n−1)(t0) = u(n−1)
0
.
(1.3)
(1.4)
С помощью замены uk = u(k−1), k = 1, 2, ..., n, задача (1.3) сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме (1.1)–(1.2):
{
u′
k = uk+1,
k = 1, 2, ..., (n −1),
u′
n = f(t, u1, ..., un),
us(t0) = u(s−1)
0
,
s = 1, 2, ..., n.
Простейшие методы численного решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
Некоторые этапы выполнения лабораторной работы проиллюстрируем на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, описывающего горизонтальное
движение без трения шарика массы m на пружине с коэффициентом жесткости k. Переменную координату, задающую положение
шарика, обозначим через x = x(t). Тогда в силу второго закона
Ньютона уравнение движения шарика будет иметь вид
m¨
x = −kx.
(1.5)