Сборник задач по теории меры и интеграла Лебега

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
С.С. Пухов 
Сборник задач по теории меры  
и интеграла Лебега 
Методические указания к решению задач 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.518.122 
ББК 22.162 
П90 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/122/book1469.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Математическое моделирование» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
Пухов, С. С. 
П90   
Сборник задач по теории меры и интеграла Лебега : методические указания к решению задач / С. С. Пухов. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 
51, [5] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4463-2 
В методических указаниях к решению задач представлены основные 
теоретические сведения по теории меры и интеграла Лебега и предложены 
задачи для практического усвоения этих сведений. Материал учебного пособия соответствует программе курса «Дополнительные главы математического анализа». 
Для студентов 2-го курса факультета «Информатика и системы управления», обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика». 
   УДК 517.518.122 
   ББК 22.162 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4463-2 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016 
2 

Предисловие 
Теория интеграла Лебега подробно излагается в учебных курсах, предназначенных для студентов, основной специализацией 
которых является математика. При обучении студентов технических специальностей, как правило, ограничиваются изучением римановской конструкции интеграла, поскольку ее вполне хватает 
для вычислительных нужд. Положение студентов кафедры «Теоретическая информатика и компьютерные технологии» двойственно: с одной стороны, их основная специальность — системное 
программирование, с другой, — им также присваивается квалификация математика. Поэтому несмотря на то, что знание основ теории меры и интеграла Лебега необходимо, к студентам-программистам ним нельзя предъявлять столь же высокие требования, как 
к студентам-математикам.  
Самостоятельная работа студентов не может в полной мере носить творческий характер, необходимый для формирования будущих ученых-математиков. При решении задач студент должен 
действовать по четкому алгоритму или учитывать общее направление мысли и характерные для той или иной темы приемы. Данное требование придает трудность практическим занятиям именно 
по настоящему курсу, поскольку его основной задачей служит 
овладение теоретическими понятиями высокого уровня сложности 
(в то время как в основном курсе математического анализа римановские конструкции интегралов носят более естественный характер, и главная задача студента состоит в приобретении вычислительных навыков). Это обстоятельство диктует хотя бы отчасти 
теоретический характер большинства задач по курсу и требует достаточно свободной работы мысли при их решении. 
Таким образом, при составлении практических задач для данного курса необходимо найти баланс между ситуацией обучения 
студента-математика, который должен уметь самостоятельно доказывать не слишком сложные теоретические положения, применяя 
3 

весь знакомый ему арсенал приемов, и обучения студентов технических специальностей, которым достаточно овладеть алгоритмами решения типовых задач. Нахождение такого баланса автор и 
имел в виду при проведении практических занятий по курсу и при 
составлении методических указаний. Стоит отметить, что имеющаяся учебная литература (учебники [1, 2] и задачники [3, 4]) чаще 
всего объединяет тематику данного предмета с какой-либо иной, 
например, функциональным анализом. По этой причине изложение теоретического материала недостаточно подробно (ведь он 
ориентирован на математиков, способных самостоятельно продумать опущенные подробности), практический материал довольно 
скуп. Поэтому от автора при составлении методических указаний 
зачастую требовался самостоятельный поиск подходящих упражнений. 
Указания снабжены лаконичными, но вполне информативными 
теоретическими пояснениями. Данные указания соответствуют 
целям изучения дисциплины «Дополнительные главы математического анализа»: формированию у студента знаний основных понятий и теорем теории меры и интеграла Лебега; практических умений вычислять меры различных множеств, исследовать измеримость функций, исследовать функциональные последовательности 
на различные виды сходимостей, вычислять интегралы Лебега по 
различным мерам, в том числе с помощью обоснованного применения теорем теории интеграла Лебега. 
4 

МНОЖЕСТВО КАНТОРА. ФУНКЦИЯ КАНТОРА 
Множество Кантора K  строится следующим образом: из отрезка [0, 1] исключается средняя треть (интервал (1/3, 2/3)), затем 
из двух оставшихся отрезков также исключаются средние трети 
(интервалы (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9)), так до бесконечности. Оставшиеся точки образуют по определению множество Кантора. 
Данный процесс удобно описать в терминах троичного разложения: на первом шаге исключаем троичные дроби вида 
3
0,1 
(кроме числа 
3
1
 /3
0,1 ),

 на втором — дроби вида 
3
0,01 и 
3
0,21 (кроме чисел 
3
1/9
0,01

 и 
3
7/9
0,21 ),

 т. е. на n-м шаге 
выбрасываем троичные дроби, содержащие единицу на n-м месте; 
исключение составляют конечные дроби, содержащие единицу 
только на конце. Таким образом, множество Кантора состоит из 
всех троичных дробей, не содержащих единицы, а также из всех конечных троичных дробей, содержащих единицу только на конце. 
Геометрически множество Кантора любопытно тем, что если 
его сжать в 3 раза к нулю или к единице, получатся каждый раз 
половинки этого множества (данное свойство очевидно для совокупности выбрасываемых при построении K  интервалов, и, переходя к дополнениям, получаем это свойство для самого множества K). Такое свойство (часть подобна целому) носит название 
самоподобия, структуры с подобным свойством называются фракталами. Свойство самоподобия множества Кантора можно выразить формулами:  
 
1
2
2
0,
,
,1
 
.
3
3
3
3
K
K
K
K

















  
Задача 1. Доказать континуальность множества Кантора.  
Указание: в троичном разложении двойки заменить на единицы. 
5 

Задача 2. Показать, что точка 1/4 принадлежит K, не являясь 
концом никакого из выбрасываемых интервалов. 
Указание: наблюдая, в каких отрезках в процессе построения K 
остается 1/4, догадаться до троичного разложения и проверить его, 
суммируя соответствующую прогрессию. 
Задача 3. Показать, что точка 12/13 принадлежит K, не являясь 
концом никакого из выбрасываемых интервалов. 
Задача 4. Показать, что 
[0 2 .
, ]
K
K


  
Указание: 
[0, 2]
x

 рассмотреть троичное разложение числа 
/2
x
 и разбить на сумму двух троичных дробей из единиц и нулей. 
Задача 5. Показать, что 
[0, 3].
K
K
K



  
Задача 6. Найти суммарную длину интервалов, выброшенных 
при построении множества Кантора. 
Задача 7. Пусть на k-м шаге построения множества Кантора 
выбрасываются интервалы длины не 1/3 ,
k  а длины 
.
k
x
 Какова будет суммарная длина выброшенных интервалов? Для каких x  такое построение возможно? 
С множеством Кантора K тесно связана функция 
( ),
K x
 также 
носящая имя Кантора. Опишем процесс ее построения. Положим 
(0)
0, (1)
1.
K
K


 Далее последовательно на каждом интервале, 
вычитаемом при построении канторовского множества, будем полагать значение 
( )
K x  постоянным и равным среднему арифметическому от ранее определенных 
значений в точках, ближайших к 
данному интервалу слева и справа. Так, на (1/3, 2/3) положим 
( )
1/2,
K x 
 на (1/9, 2/9) положим 
( )
1/4,
K x 
 на (7/9, 8/9) положим 
( )
3/4
K x 
 (рис. 1), и т. д. 
Таким 
образом, 
функция 
Кантора пока что определена на 
дополнении к множеству Кантора, не убывает и принимает все 
значения вида 
/2 ,
n
k
 где 
,
n 
 
Рис. 1. Функция y = K(x) 
.
0,
, 2 n
k 

  
6