Устойчивость решений дифференциальных уравнений

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
Т.А. Бутина, В.М. Дубровин 
Устойчивость решений  
дифференциальных уравнений 
Методические указания к выполнению домашнего задания 

УДК 517.9 
ББК 22.161 
 Б93 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1426.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
Б93 
Бутина, Т. А. 
 Устойчивость решений дифференциальных уравнений : методические указания к выполнению домашнего задания / Т. А. Бутина, В. М. Дубровин. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016. — 31, [5] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4415-1 
В пособии изложены основы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами, приведены примеры решения задач на исследование устойчивости решений таких уравнений и систем уравнений, представлены варианты домашних заданий по рассматриваемой теме. 
Для студентов 1-го и 2-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
УДК 517.9 
ББК 22.161 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016
Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-4415-1  
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2016

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Точное или приближенное решение задач с начальными 
условиями и граничных задач является основной задачей теории 
дифференциальных уравнений. При этом часто требуется выяснить как меняется решение при изменении начальных условий. 
В прикладных задачах начальные условия почти всегда являются результатом измерения и, следовательно, неизбежно определяются с некоторой погрешностью. Поэтому возникает вопрос о 
влиянии малого изменения начальных условий на искомое решение. 
Целью работы является ознакомление студентов с основными положениями теории устойчивости, отработка навыков 
исследования на устойчивость систем дифференциальных уравнений. 
Если сколь угодно малые изменения начальных условий 
способны вызвать значительные изменения решения, то решение, определяемое неточными начальными условиями, обычно 
не имеет никакого прикладного значения, так как оно даже приближенно не описывает реальный процесс. Поэтому возникает 
важный вопрос о нахождении условий, при которых малое изменение начальных условий вызывает лишь малое изменение 
определяемого ими решения. Аналогичный вопрос возникает  
и в задачах, в которых требуется определить, с какой точностью 
надо задать начальные условия, чтобы решение было в заданной 
области. Эти вопросы решает качественная теория дифференциальных уравнений, одним из разделов которой является теория 
устойчивости. 
3 

 
 
1. Основные понятия 
В некоторых случаях важно знать не только решение дифференциального уравнения, отвечающего заданной системе начальных условий, но и характер поведения этого решения при изменении начальных условий или изменении аргументов. Рассмотрим примеры задач. 
Пусть дана нормальная система дифференциальных уравнений 
,
,
,
,
;




1
1
1
2
n
,
,
,
,
;


 
 
(1.1) 







2
2
1
2
n
,
,
,
,
;




1
2
n
n
n
dx
f
t x x
x
dt
dx
f
t x x
x
dt
dx
f
t x x
x
dt




c начальными условиями 
 
1
0
10
2
0
20
0
0
( )
,
(
.
)
, ,
( )
n
n
x t
x
x
t
x
x
t
x




 
(1.2) 
Найдем условие, при котором малое изменение условий (1.2) 
приводит к малым изменениям решений системы (1.1). Если t  
меняется в малом промежутке 
0
t
t
T


, то ответ на этот вопрос 
можно получить на основании теоремы существования и единственности. 
Теорема (теорема о непрерывной зависимости решения от 
начальных условий). Если правая часть дифференциального 
уравнения 
 


,
dx
f t x
dt 
 
(1.3) 
непрерывна и по переменной x  имеет ограниченную частную 
производную 
x
f
N

 на прямоугольнике 
0
0
;
D
t
a
t
t
a




4