Подготовка к контрольной работе по технике дифференцирования

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
Методическое обеспечение учебного процесса студентов 
с ограниченными возможностями здоровья 
З.Ф. Столярова 
 
 
 
Подготовка к контрольной работе 
по технике дифференцирования 
 
Методические указания к самостоятельной работе 
по курсу «Математический анализ» 
 
Под редакцией А.Г. Станевского 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.2 
ББК 22.16 
        С81 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://www.ebooks.bmstu.ru/catalog/95/book1357.html 
 
Факультет «Головной учебно-исследовательский и методический центр» 
Кафедра «Реабилитация инвалидов» 
С81 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
Столярова, З. Ф. 
Подготовка к контрольной работе по технике дифференцирования : методические указания к самостоятельной работе по курсу 
«Математический анализ» / З. Ф. Столярова ; под ред. А. Г. Станевского. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана,  
2015. — 57, [3] с. — (Серия методического обеспечения учебного 
процесса студентов с ограниченными возможностями здоровья). 
 
ISBN 978-5-7038-4316-1 
 
Издание содержит учебный материал для самостоятельной 
работы по дифференциальному исчислению функций одной переменной с целью  подготовки к контрольной работе. Даны  сведения для обеспечения начального (входного) уровня знаний.  
Для студентов 1-го курса ГУИМЦ МГТУ им. Н.Э. Баумана,  
а также студентов других потоков. 
 
УДК 517.2 
ББК 22.16 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4316-1                             
 
      МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 
 

Предисловие 
 Целью настоящего издания является помощь студентам в освоении темы «Техника дифференцирования функций одной переменной». Задачей дифференциального исчисления является создание математического аппарата для изучения и разработки многих дисциплин. Предполагается, что представленная работа поможет студентам укрепить знание формул и правил дифференцирования и привить 
умение выводить и применять их на практике. 
Сразу заметим, что заучивание таблицы производных не гарантирует знание техники дифференцирования. Во-первых, если из 
таблицы производных забыта какая-либо формула, надо уметь вы-
вести ее.  
Во-вторых, знание таблицы недостаточно для умения дифференцировать сложную или параметрически заданную функцию. 
В-третьих, задача на составление уравнения касательной и 
нормали к плоской кривой требует дополнительных знаний, кроме 
дифференцирования. 
Итак, приступая к изучению темы «Техника дифференцирования функций одной переменной», надо уметь строить графики 
функций с различной формой задания и знать: 
определение производной;
геометрический смысл производной;
определение предела функции;
свойства пределов;
замечательные пределы;
некоторые тригонометрические формулы;
основное логарифмическое тождество;
правила дифференцирования суммы, произведения и частного
дифференцируемых функций; 
графики основных элементарных функций;
уравнения кривых второго порядка;
уравнение прямой на плоскости (с угловым коэффициентом); 
3 

 условие перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом. 
Материалы, обеспечивающие начальный уровень для изучения 
темы «Техника дифференцирования функций одной переменной», 
даны в этом издании, а также в учебном пособии З.Ф. Столяровой 
«Как вычислять пределы». 
Автор выражает благодарность сотруднику ГУИМЦ МГТУ  
им. Н.Э. Баумана М.Д. Константинову за помощь в подготовке иллюстративного материала. 
 
4 

Введение 
Зачем нужны производные? При описании, изучении, исследовании процессов (то есть изменяющихся состояний в механике, 
сплошной среде, электрических и магнитных полях и т. д.) невозможно обойтись без производных. Уравнения, описывающие процессы, связывают параметры, характеризующие эти процессы, и 
производные от них. Часто для описания процессов требуются 
производные не только первого, но и высших порядков. Эти уравнения называются дифференциальными и изучаются на втором 
курсе. 
Производные входят в формулы Тейлора и Маклорена (которые при n  превращаются в так называемые степенные ряды). 
Эти формулы (и степенные ряды) используются в приближенных 
вычислениях и в других областях математики. 
 
5 

1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.  
СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНОЙ 
Определение. Пусть дана функция 
( )
(
)
(
)
0
f
x
C U x
∈
1. Производной функции 
( )
f
x  в точке 
0
x
x
=
 называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.  
Пусть значению 
0
x
x
=
 мы придали приращение 
,
x
Δ
 тогда получим новое значение x : 
0
.
x
x
x
=
+ Δ
 Значения функции 
( )
f
x  в 
точках 
0
x  и 
0
x
x
+ Δ  равны соответственно 
(
)
0
f
x
 и 
(
)
0
.
f
x
x
+ Δ
 
Приращение функции 
(
)
(
)
(
)
0
0
0 .
f
x
f
x
x
f
x
Δ
=
+ Δ
−
 По определению производной 
( )
(
)
0
0
0
lim
.
x x
x
f
x
f
x
x
=
Δ →
Δ
′
=
Δ
 Производную обозначают также 
(
)
0 ,
df
x
dx
 или 
,
dy
dx  или 
.
y′  Индекс «0» впредь писать не 
будем. 
Определение производной надо выучить наизусть. Взятие (вычисление) производных называется дифференцированием.  
Составление таблицы производных 
Производная константы 
( )
,
y
f
x
C
=
=
 где C — постоянное число. 
( )
,
f
x
C
=
 
(
)
,
f
x
x
C
+ Δ
=
 
( )
(
)
(
)
0
0
f
x
f
x
x
f
x
Δ
=
+ Δ
−
=
0,
=
−
=
С
C
 
( )
0
0
0
lim
lim
.
x
x
f
x
y
C
x
x
Δ →
Δ →
Δ
′
′
=
=
=
Δ
Δ
 
________________ 
1
0
( )
(
(
))
f x
C U x
∈
означает: 
( )
f x  принадлежит к классу непрерывных функций (буква C — от слова continuous — непрерывный) в 
окрестности точки x0 (обозначается 
0
(
)).
U x
 
6