Функции нескольких переменных

Московский государственный технический университет  
имени Н. Э. Баумана 
 
 
 
 
 
С. Н. Ефремова, А. В. Косова, Т. А. Ласковая 
 
 
 
Функции нескольких переменных 
 
 
Методические указания к выполнению домашних заданий  
по курсу «Линейная алгебра и функции нескольких переменных» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

 
Е92 
УДК 517.51 
ББК 22.161.5я73 
 
Е92 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/122/book1341.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Математическое моделирование» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
 
Ефремова, С. Н. 
Функции нескольких переменных : методические указания к 
выполнению домашних заданий по курсу «Линейная алгебра и 
функции нескольких переменных» / С. Н. Ефремова, А. В. Косова, 
Т. А. Ласковая. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2015. — 48, [4] с. 
ISBN 978-5-7038-4280-5 
Кратко изложены основные теоретические сведения, необходимые 
для решения типовых задач, и разработаны алгоритмы их решения. Даны 
подробные пояснения к основным действиям при выполнении этих алгоритмов и приведено большое количество примеров с подробными объяснениями.  
Методические указания предназначены для самостоятельного изучения темы «Функции нескольких переменных», подготовки к выполнению домашних заданий, к семинарским занятиям, рубежному контролю  
и итоговой аттестации по курсу «Линейная алгебра и функции нескольких переменных». 
Для студентов 1-го курса факультета «Информатика и системы 
управления» и кафедры «Радиоэлектронные системы и устройства» 
МГТУ им. Н. Э. Баумана. 
 
УДК 517.51 
ББК 22.161.5я73 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4280-5  
 
    МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 
2 

 
Предисловие 
Понятие функции является одним из основных понятий математического анализа. Вначале в курсе высшей математики студенты знакомятся 
с функциями одной действительной переменной, которые можно рассматривать как отображения 
.
→

  Область определения и множество 
значений такой функции являются множествами действительных чисел. 
Однако для построения математических моделей большинства реальных 
процессов этих функций недостаточно, поскольку их протекание зависит 
от множества не связанных между собой факторов. Например, хорошо 
известно, что объем V прямоугольного параллелепипеда со сторонами x, 
y и z можно вычислить по формуле V = xyz. Поскольку длины сторон не 
зависят друг от друга, объем соответствующего параллелепипеда можно 
рассматривать как функцию трех указанных независимых переменных x, 
y и z. Математически это записывается так: 
( , , ).
V
V x y z
=
 
В данном издании будем рассматривать те функции, значения которых определяются значениями всей совокупности переменных. Несмотря 
на то что свойства таких функций во многом аналогичны соответствующим свойствам функций одной действительной переменной, имеется ряд 
существенных отличий, на которые будет обращено особое внимание. 
Пособие включает в себя определения, формулировки теорем и подробные решения типовых задач основных разделов курса: непрерывность, частные производные, полный дифференциал, дифференцирование сложных функций, производная в направлении и градиент, 
производные и дифференциалы высших порядков, дифференцирование 
неявных функций, касательная плоскость и нормаль к поверхности, формула Тейлора и экстремумы функций нескольких переменных.  
В результате изучения материала, изложенного в данном пособии, 
студенты должны знать: ключевые понятия курса «Функции нескольких 
переменных» и связанные с ними основные теоремы; уметь вычислять 
пределы, частные производные и дифференциалы этих функций; находить производную по направлению и градиент; решать задачи на составление уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности и 
нахождение экстремумов функций нескольких переменных.  
Пособие поможет студентам овладеть навыками самостоятельной работы по изучению материала курса и успешно сдать контрольные мероприятия, предусмотренные программой курса. 
 
3 

 
1. Скалярные функции n переменных 
Пусть даны два множества: 
,
.
n
X
U
⊂
⊂

  Элементы X есть 
1
(
,...,
)
,
n
n
x
x
x
=
∈
 элементы U — числа 
.
u ∈  
Определение 1. Скалярной функцией n переменных называют 
отображение 
n
x
X
∀∈
⊂  в один элемент 
.
u
U
∈
⊂  Обозначим 
ее так: 
1
(
,...,
),
n
u
f x
x
=
 или 
:
,
f
X
U
→
 или 
.
f
X
U
⎯⎯
→
 
Множество X называют областью определения (существования) функции: 
( );
X
D f
=
 
1
(
, ...,
)
n
x
x
x
=
 — аргумент функции; 
1
( )
( ,...,
)
n
f x
f x
x
=
 — значение функции на элементе 
1
( ,...,
)
;
n
n
x
x
x
=
∈  
{
}
(
)
( )
( )
f X
f x x
X
E f
=
∈
=
 — область значений (изменения) 
функции. 
Задача 1. Найти область определения функции  
 
+
+
=
 
2
ln(
)
( , )
.
xy
y
y
f x y
x
Решение. Область определения функции 
 
0;
0;
0;
( ):
0
(
1)
0
0
x
x
x
D f
xy
y
y x
y
>
>
>
⎧
⎧
⎧
⇔
⇔
⎨
⎨
⎨
+
>
+
>
>
⎩
⎩
⎩
 
— I четверть без координатных осей, так как неравенства строгие. 
В итоге получим 
2
( )
( , )
0;
0 .
D f
x y
x
y
=
∈
>
>

 
 
{
}
Определение 2. Поверхностью уровня, соответствующей значению с, называют множество всех точек из области определения 
функции, в которых она принимает значение с. 
При 
2
n =
 поверхность становится линией уровня. 
4 

Задача 2. Найти поверхность уровня функции  
 
2
2
2
( , , )
.
f x y z
x
y
z
=
+
+
 
Решение. Уравнения поверхностей уровня имеют вид  
 
2
2
2
.
x
y
z
с
+
+
=
 
Возможны три случая: 
1) если 
0,
с <
 то получаем 
;
∅ 
2) если 
0,
c =
 то поверхность вырождается в точку — начало 
координат 
(0, 0, 0);
O
 
3) если 
0,
с >
 то поверхность представляет собой сферу радиуса 
с  с центром в начале координат. 
Задача 3. Найти линию уровня функции 
,
z
xy
=
 проходящую 
через точку 
(2, 2).
М
 
Решение. Линии уровня данной функции имеют уравнения вида 
.
xy
c
=
 Подставим координаты точки M в это уравнение и 
найдем :
с  
2 2
2.
с =
⋅
=
 Таким образом через точку 
(2, 2)
М
 проходит линия уровня 2 , имеющая уравнение 
2
4.
xy
xy
=
⇔
=
 Это 
уравнение задает равноосную гиперболу. 
Замечание 1. Через каждую точку области определения 
функции проходит поверхность (линия) уровня, притом единственная. 
2. Пределы и непрерывность  
функций нескольких переменных 
Вспомним, что 
n
  — это евклидово арифметическое пространство со скалярным произведением 
1 1
2
2
( , )
...
,
n
n
x y
x y
x y
x y
=
+
+
+
 где 
1
1
( ,...,
),
(
,...,
),
n
n
x
x
x
y
y
y
=
=
в котором можно ввести евклидову норму 
( , )
x
x x
=
 и расстояние 
2
2
1
1
( , )
(
)
... (
) .
n
n
x y
x
y
x
y
x
y
ρ
=
−
=
−
+
+
−
 
5 

Определение 3. ε-окрестностью точки 
n
a∈ называют множество 
{
}
( , )
( , )
.
n
U a
x
x a
ε =
∈
ρ
< ε

 
Определение 4. Проколотой ε-окрестностью точки 
n
a∈  
называют ее ε-окрестность за исключением самой точки a:  
 
{ } {
}
( , )
( , ) \
0
( , )
.
n
U a
U a
a
x
x a
ε =
ε
=
∈
< ρ
< ε


 
Определение 5 (Коши). Число b∈  называют пределом функции 
1
(
,...,
)
n
u
f x
x
=
 n переменных в точке 
1
(
,...,
)
,
n
n
a
a
a
=
∈
 если 
для любого 
0
ε >
 существует 
0
δ >
 такое, что для любого 
( , )
x
U a
∈
δ

 выполняется неравенство 
( )
:
f x
b
−
< ε  
def
 
lim
( )
0
0:
( , )
( )
.
x
a f x
b
x
U a
f x
b
→
= ⇔∀ε >
∃δ >
∀∈
δ ⇒
−
< ε

 
Определение 6 (Гейне). Число b∈  называют пределом функции 
( )
u
f x
=
 n переменных при 
,
n
x
a
→
∈
 если для произвольной последовательности {
}
( , ),
m
x
U a
∈
δ

 сходящейся к а, соответствующая 
последовательность 
{
}
(
)
m
f x
 
значений 
функции 
сходится к b: 
 
{
}
{
}
lim
( )
,
( , )
(
)
.
def
m
m
m
x
a f x
b
x
a x
U a
f x
b
→
=
⇔∀
→
∈
δ ⇒
→

 
Замечание 2. Оба определения (Коши и Гейне) эквивалентны. 
Замечание 3. Согласно определению, предел не зависит от 
способа приближения точки 
1
( ,...,
)
n
x
x
x
=
 к точке 
1
(
,...,
),
n
a
a
a
=
 
точка x должна оставаться в области определения. 
Определение 7. Функцию нескольких переменных :
n
f A⊂
→

 
называют ограниченной на множестве A, если 
:
M
x
A
∃
∈
∀∈
⇒

 
( )
.
f x
M
⇒
≤
 
Пример 1. Функция 
2
arcsin x
z
y
=
 ограничена 
[
]
(
)
( )
1;1
E z = −
 
на всей области определения. 
6