Методы теории функций комплексного переменного в прикладных задачах механики сплошных сред

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
В.Н. Тимофеев, А.Ю. Бушуев 
Методы теории функций комплексного 
переменного в прикладных задачах 
механики сплошных сред 
Методические указания 
к выполнению курсовой работы по дисциплинам 
«Механика сплошных сред» и «Методы решения задач  
механики деформируемого твердого тела» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.53/.55(075.8) 
ББК 22.161.5 
        Т41 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/96/book1290.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Вычислительная математика и математическая физика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
Рецензент: д-р техн. наук, профессор Н.И. Сидняев 
 
 Т41 
   Тимофеев, В. Н. 
 
 
      Методы теории функций комплексного переменного в прикладных задачах механики сплошных сред : методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплинам «Механика 
сплошных сред» и «Методы решения задач механики деформируемого твердого тела» / В. Н. Тимофеев, А. Ю. Бушуев.    Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 68, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4252-2  
Изложены сведения о комплексном потенциале плоских гармонических полей, об интегралах от аналитических функций в многосвязных областях и о связи аналитических и гармонических функций. Дана формулировка принципа суперпозиции и проведено определение характеристик 
базовых плоских гармонических полей. Представлены постановка и решение ряда прикладных задач механики сплошных сред. Изложен метод 
конформных отображений. Приведены расчетные соотношения для выполнения курсовых работ. 
Для студентов направления подготовки «Математика и компьютерные 
науки», изучающих дисциплины «Механика сплошных сред» и «Методы 
решения задач механики деформируемого твердого тела». 
 
 
УДК 517.53/.55(075.8) 
ББК 22.161.5 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4252-2                                               МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Данные методические указания содержат краткое изложение 
методов теории функций комплексного переменного (ТФКП), с 
помощью которых можно сформулировать и решить ряд краевых 
задач, возникающих при исследовании векторных полей [1–4]. 
Аналитическое решение такого рода задач базируется на тесной 
взаимной связи характеристик плоскопараллельных гармонических векторных полей и свойств аналитических функций         
комплексного переменного (ФКП) [2, 5].  Поэтому нахождение некоторой аналитической ФКП, называемой комплексным потенциалом, позволяет определить все важнейшие характеристики изучаемого плоскопараллельного гармонического векторного поля. 
Используя  комплексные потенциалы  нескольких базовых  плоских  гармонических  полей, в число которых входят поле  постоянного  вектора, источник,  вихрь и диполь, с помощью принципа 
суперпозиции можно получить комплексные потенциалы, дающие 
решение важных для практического использования краевых задач.  
Метод  конформных  отображений  позволяет существенно расширить сферу применения такого подхода благодаря возможности 
рассмотрения тел с границами сложной конфигурации. 
Задача определения характеристик плоскопараллельных гармонических векторных полей  относится к числу классических и 
рассматривается как в фундаментальной  дисциплине «Механика 
сплошных сред», так и в целом ряде прикладных дисциплин, 
например в курсе  «Методы решения задач механики деформируемого твердого тела». 
В предлагаемом издании изложены теоретические сведения 
для выполнения курсовых работ по перечисленным дисциплинам 
применительно к решению краевых задач гидроаэродинамики, 
теория тепловых полей и  электростатики. Наиболее подробно 
разобрано решение задачи об  обтекании  профиля произвольной 
формы потенциальным потоком  идеальной  несжимаемой  жидкости.  Представленные расчетные соотношения могут быть исполь3 

зованы для выполнения курсовых работ студентами, обучающимися по направлению подготовки «Математика и компьютерные 
науки» и изучающими дисциплины «Механика сплошных сред» и 
«Методы решения задач механики деформируемого твердого тела», а также студентами широкого круга машиностроительных 
специальностей.  
В предлагаемых методических указаниях рассмотрены основные понятия и методы теории функций комплексного переменного, которые необходимы для решения краевых задач, возникающих при исследовании векторных полей, при компьютерной 
работе с этими объектами. Представленный теоретический материал, примеры постановки  краевых задач  и компьютерного моделирования  позволят студенту выполнить курсовую работу. 
В конце издания приведены список тем курсовых работ, которые можно рекомендовать при проведении учебного процесса по 
перечисленным дисциплинам, а также вопросы для самоконтроля 
усвоения представленного материала.  
 
4 

1. СТАЦИОНАРНЫЕ ПЛОСКИЕ ПОЛЯ  
И АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ  
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 
1.1. Плоскопараллельные и плоские поля 
 
Рассмотрим стационарные плоскопараллельные векторные 
поля. Напомним, что если в любой момент времени t  каждой точке M  области  D трехмерного пространства поставлен в соответствие вектор 
*(
, ),
A M t


то говорят, что в Dзадано векторное 
поле 
*
A


. Стационарным называют поле, вектор которого не зависит от времени. Поле называется плоскопараллельным, если все 
векторы 
*
A


 равны и параллельны некоторой плоскости F в каждой точке M любой прямой N, перпендикулярной F, т. е. 


*
*( , , )
( , );
( , ); 0 .
x
y
A
A x y p
A x y
A
x y






                   (1) 
Введем такую систему ортогональных декартовых координат 
,
Oxyp  чтобы плоскости Oxy и F совпали. Тогда в разложении по 
ортам 
1
2
3
,
,
e e
e




  координатных осей произвольного вектора поля   
*
1
2
3
x
y
p
A
A e
A e
A e











 третья компонента 
0,
p
A 
 а две другие  
не зависят от координаты p. Поэтому рассматриваемое плоскопараллельное поле (1) порождает на плоскости Oxy поле векторов  




                       (2)  
  


( , )
( , );
( , ) .
x
y
A
A x y
A
x y
A
x y


Таким образом, изучение плоскопараллельного поля в области 
,
D ограниченной цилиндрической поверхностью 
D
 с лежащей в плоскости F направляющей  L, сводится к определению 
характеристик плоского поля (2) в области D с границей  
.
L
D

  
Наоборот, по любому плоскому полю (2) можно восстановить в 
5 

трехмерном пространстве соответствующее плоскопараллельное 
поле (1).  
Вектор плоского поля определяется парой функций двух действительных переменных 
( , )
x
x
A
A x y

  и 
( , ).
y
y
A
A x y

 Эта же 
пара функции определяет комплекснозначную функцию  
( )
( , )
( , )
x
y
A
A z
A x y
iA x y



 


 и ( ):
A z  
аргумента 
.
z
x
iy


 В этом смысле будем отождествлять A





                     (3) 
                 
1
2
( )
.
x
y
x
y
A
A e
A e
A z
A
iA





1.2. Комплексный потенциал гармонического поля 
Пусть плоское векторное поле является соленоидальным, т. е.  


                                 (4) 
div
0,
y
x
A
A
A
x
y







область D, в которой задано поле, — односвязной, а компоненты 
x
A   и 
y
A  имеют в этой области непрерывные частные производные. Представим условие (4) соленоидальности поля в виде 
                                  (
)
.
y
x
A
A
y
y





                                        (5) 
Тогда, согласно известной теореме анализа, выражение 
y
x
A dx
A dy


 
является полным дифференциалом некоторой функции 
:
  
 
( , )
( , )
( , )
.
y
x
d
x y
A
x y dx
A
x y dy



                         (6) 
Представляя d как дифференциал функции двух переменных: 
( , )
( , )
( , )
,
d
x y
x y dx
x y dy
x
y







 
и сравнивая его с формулой (6), получаем связь компонент вектора 
с частными производными функции ( , ):
x y

  


                                 (7) 
                                 
;
x
A
y


.
y
A
x
6 

Рассмотрим векторную линию поля (2), в каждой точке которой касательная параллельна вектору 
,
A

 что равносильно выполнению условия 
.
dx
dy
A
A

 
x
y
Интегрируя это обыкновенное дифференциальное уравнение, получаем 
   
0;
y
x
A dx
A dy



      
0;
d
        
( , )
const.
x y


 
Таким образом, линии уровня функции  совпадают с векторными линиями плоского соленоидального поля. В ТФКП широко используется  гидродинамическая аналогия. Поскольку векторные линии поля скорости потока жидкости называют линиями 
тока, функцию  часто называют функцией тока и для полей 
другой физической природы. 
Рассмотрим теперь безвихревые поля, для которых 
*
rot
0
A 


  в 
любой точке  M  области  D. В случае плоскопараллельного поля 




1 2 3
y
x





 
*
3
rot
,















0
e e e
A
A
A
e
x y
z
x
y
A A
x
y
т. е.  вектор 
*
rotA


  перпендикулярен плоскости Oxy  и определяется 
величиной 
,
y
x
A
A
x
y






  называемой вихрем плоского поля (2). 
Поэтому плоское поле будет безвихревым, если 
             
0,
y
x
A
A
x
y







                                     (8) 
или 
                         
.
y
x
A
A
x
y





                                           (9) 
В случае плоской односвязной области равенство является необходимым и достаточным условием существования функции 
,
 
полный дифференциал которой определяется по формуле 
7