Численные методы интегрирования, решения дифференциальных уравнений и задач оптимизации

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
А.А. Федотов, П.В. Храпов  
 
 
Численные методы  
интегрирования, решения  
дифференциальных уравнений  
и задач оптимизации 
 
Учебное пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.518.12 
ББК 22.193 
        Ф34 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1280.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Высшая математика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
Ф34 
 
 Фетодов, А. А. 
Численные методы интегрирования, решения дифференциальных уравнений и задач оптимизации : учебное пособие / А. А. Федотов, П. В. Храпов. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 76, [2] с.: ил. 
 
ISBN 978-5-7038-4235-5 
 
Рассмотрены численные методы интегрирования, решения дифференциальных уравнений и оптимизации. Изложены методы решения задачи Коши и краевой задачи для обыкновенных дифференциальных 
уравнений и систем дифференциальных уравнений. Приведены варианты 
индивидуальных заданий к лабораторным работам. 
Для студентов 2-го курса факультетов  «Машиностроительные технологии», «Специальное машиностроение» и «Робототехника и комплексная автоматизация» МГТУ им. Н.Э. Баумана, а также для студентов 
других факультетов. 
 
УДК 517.518.12 
 ББК 22.193 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4235-5                              
 
      МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 
 

Предисловие 
Пособие содержит теоретический материал и варианты заданий к лабораторным работам по курсу «Численные методы». 
В первой главе представлены численные методы для приближенного вычисления однократных интегралов, в частности, квадратурные формулы средних прямоугольников, формулы трапеций, 
Симпсона и Гаусса. 
Во второй главе рассмотрены численные методы вычисления 
двойных интегралов: метод ячеек и метод последовательного интегрирования. 
В третьей главе излагаются приближенные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого 
порядка. Изучается метод Эйлера, приводятся расчетные формулы 
методов Рунге — Кутты второго и четвертого порядков точности, 
дается изложение метода Адамса. Обсуждается распространение рассмотренных методов на случай задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. 
В четвертой главе изучаются приближенные методы решения 
краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального 
уравнения второго порядка: решение разностной задачи методом 
прогонки и методом стрельбы. 
В пятой главе представлены численные методы одномерной  
и многомерной оптимизации. Изложены методы покоординатного 
спуска, наискорейшего спуска, методы сопряженных градиентов  
и проекции градиента. 
Литература, рекомендуемая для более полного ознакомления с 
рассмотренными в работе вопросами, приводится в конце пособия. 
3 
 

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ  
ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 
Постановка задачи. Требуется вычислить приближенно интеграл 
b
 
( )
,
a
I
f x dx

 
где 
( )
f x  — непрерывная на отрезке [ , ]
a b  функция. 
1.1. Квадратурные формулы 
В качестве приближенного значения интеграла I  рассматривается число 
n
 
 
0
(
),
n
i
i
i
I
q f x


 
 (1.1) 
где 
(
)
i
f x
 — значения функции 
( )
f x  в точках 
,
i
x  
0, 1, ..., ;
i
n

 
i
q  — числовые коэффициенты. Формула (1.1) называется квадратурной формулой. Точки 
i
x  называются узловыми точками, или 
узлами, квадратурной формулы, а числа 
i
q  — весовыми коэффициентами, или весами, квадратурной формулы. Разность 
b
b
n
 
0
( )
( )
( )








 
n
n
i
i
i
a
a
I
f x dxR
I
I
f x dx
q f x
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность 
зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. 
Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов 
степени 
,
s  если при замене 
( )
f x  на произвольный алгебраиче4 

ский многочлен степени не выше s  приближенное равенство 
n
I
I

 становится точным. 
Введем некоторые понятия, которые будут использоваться  
в дальнейших рассуждениях. 
Определение 1. Будем говорить, что функция 
( )
f x  принадлежит классу 
[ , ],
k
C
a b  и писать 
[ , ],
k
f
C
a b

 если функция 
( )
f x  
определена на отрезке [ , ]
a b  и имеет на нем непрерывные производные до порядка k  включительно. 
Определение 2. Пусть 
( )
h

 — некоторая функция переменной 
h  с конечной областью определения D на полуоси 
0,
h 
 причем 
h
D

 может принимать сколь угодно малые значения. Тогда если 
существуют положительные числа 
0, ,
h
c k  такие, что при всех 
,
h
D

 удовлетворяющих условию 
0
0
,
h
h


 выполняется неравенство
( )
,
k
h
ch


то пишут ( )
(
)
k
h
O h


и говорят, что ( )
h

 есть 
O  большое от 
k
h  (при 
0
h 
). 
Согласно данному определению, выполняются следующие 
очевидные свойства. Если 
( )
(
),
k
h
O h


 
( )
(
),
k
h
O h


 причем 
,
D
D



 то ( )
( )
(
)
k
h
h
O h



, т. е. 
(
)
(
)
(
).
k
k
k
O h
O h
O h


 
Если 
0,
k
m


 то 
(
)
k
O h
 в то же время есть 
(
).
m
O h
 Наконец, 
если 
( )
(
),
k
h
O h


 то 
( )
(
),
k
h
O h


 где  — постоянная, не 
зависящая от .
h  
Рассмотрим наиболее простые квадратурные формулы. 
1.1.1. Формула средних прямоугольников 
Допустим, что 
2
,
, 
0.
2 2
h h
f
C
h









 Положим приближенно 
h
2
 
 
h
I
f x dx
hf
0
2
( )
,




  
(1.2) 
где 
0
(0)
f
f

.  
Формула (1.2) означает, что площадь криволинейной трапеции, 
ограниченной сверху графиком функции 
( ),
f x
 аппроксимируется 
5 

площадью закрашенного прямоугольника (рис. 1.1, a), высота которого равна значению 
0
f  функции 
( )
f x  в средней точке 
0
x 
 
отрезка 
,
.
2 2
h h







 Формула (1.2) называется формулой средних 
прямоугольников. 
Рис. 1.1. Формула средних прямоугольников (а), формула трапеций (б) 
Получим формулу средних прямоугольников с остаточным 
членом. Пусть 
x
 
F x
f t dt

 
0
( )
( )
.
Так как 
0
0
(0)
0, 
(0)
, 
(0)
, 
( )
( ),
F
F
f
F
f
F
x
f
x









 то, согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, 
имеем 
 
2
3
(0)
(0)
(0)
(
),
2
2
8
48
h
h
h
h
F
F
F
F
F
















 
или 
2
3
  
0
0
(
),
2
2
8
48
h
h
h
h
F
f
f
f














 
(1.3) 
где 
,



 — некоторые точки, причем 
0
.
2
2
h
h





 
6 

С учетом (1.3) получаем 
h
2
3
h
h
h
f
f
f x dx
F
F
h f


 
(
)
(
)
( )
.
2
2
24
2























 
h
0
2

Далее нам понадобится следующая лемма. 
Лемма. Пусть 
[ , ], 
[ , ]
i
f
C a b
a b


 — произвольные точки, 
1, 2, ..., .
i
n

 Тогда существует такая точка 
[ , ],
a b

 что 
 


1
2
(
)
(
)
...
(
)
( ).
n
f
f
f
n
f







 
Эта лемма вытекает из очевидных неравенств 
 


1
2
[ , ]
[ , ]
min
( )
(
)
(
)
...
(
)
max
( )
n
x
a b
x
a b
f x
f
f
f
n
f x










 
и теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции. 
Формулу средних прямоугольников с остаточным членом 
h
2
3
h
h
f x dx
hf
f
 
h
0
2
( )
( ), 
24
2







 
получаем, используя лемму. 
1.1.2. Формула трапеций 
Пусть 
2[0, ]
f
C
h

. Полагаем 
  
0
1
h
f
f
I
f x dx
h




 
(1.4) 
0
( )
,
2
где 
0
1
(0), 
( ).
f
f
f
f h


 Из формулы (1.4) видно, что искомое 
значение интеграла приближенно заменяется величиной площади 
трапеции, закрашенной на рис. 1.1, б. 
Формулу трапеций с остаточным членом 
3
0
1
 
h
f
f
h
f x dx
h
f
h







 
0
( )
( ), 
[0, ].
2
12
можно получить аналогично тому, как это было сделано в  
п. 1.1.1. 
7 

1.1.3. Формула Симпсона 
Предположим, что 
4[
,
]
f
C
h h


 и требуется вычислить интеграл 
h
 
 
( )
.
h
I
f x dx


 
Значение этого интеграла приближенно заменяем величиной площади закрашенной криволинейной 
трапеции (рис. 1.2), ограниченной 
сверху параболой 
( ),
p x
 проходящей 
через точки 
1
(
,
),
h f

0
(0,
),
f
 
1
( ,
),
h f
 
где 
(
), 
1, 0, 1.
i
f
f ih
i


 Эта парабола задается уравнениями 




 
  
1
1
0
( )
2
f
f
p x
f
x
h
 Рис. 1.2. Формула Симпсона 



 
                
1
0
1
2
2
2
2
f
f
f x
h
и 
h
  


1
0
1
( )
4
.
3
h
h
p x dx
f
f
f






 
Следовательно, 
h
 
 


1
0
1
( )
4
.
3
h
h
f x dx
f
f
f






 
 (1.5) 
Формула Симпсона с остаточным членом имеет вид: 
h
 


5
(IV)
1
0
1
( )
4
( ), 
[
, ].
3
90
h
h
h
f x dx
f
f
f
f
h h









 
Рассмотренные квадратурные формулы средних прямоугольников (1.2), трапеций (1.4) и Симпсона (1.5) назовем каноническими. 
8