Руководство к решению задач по векторному анализу

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
Руководство к решению задач  
по векторному анализу 
 
 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
Под редакцией Н.И. Сидняева 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 514.742.4 
ББК 22.16 
        Р85 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book1268.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Высшая математика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия  
Авторы:  
Н.И. Сидняев, Н.М. Гордеева, Е.С. Попушина, О.Д. Рыбдылова 
Рецензент 
д-р физ. мат. наук, профессор Ю.И. Димитриенко 
Р85 
 Руководство к решению задач по векторному анализу : 
учебное пособие / Н. И. Сидняев, Н. М. Гордеева и др. ; под ред. 
Н. И. Сидняева. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 51, [1] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4215-7 
Изложены основы векторного анализа в приложении к теории 
поля согласно программе дисциплины «Кратные интегралы и ряды» технических специальностей вузов. Приведено множество 
примеров. Описаны основные понятия и операции векторного 
анализа в соответствии с программой, утвержденной Министерством образования и науки РФ.  
Для студентов технических специальностей, изучающих дисциплину «Кратные интегралы и ряды». 
УДК 514.742.4 
    ББК 22.16 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4215-7                                          МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

ВВЕДЕНИЕ В ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 
Векторный анализ — раздел математики, распространяющий методы математического анализа на векторы в двух измерениях и более.  
В физике и инженерном деле в основном приходится иметь 
дело с векторными и скалярными полями (векторные поля — 
отображения одного векторного пространства в другое, скалярные поля — скалярные функции на векторном пространстве). Для 
описания физических законов принято использовать средства 
векторного анализа, имеющего значительные преимущества 
перед традиционными координатными методами, а именно: 
1) компактность. Одно векторное уравнение объединяет несколько координатных, и его исследование чаще всего можно 
проводить непосредственно, не заменяя векторы на их координатную запись; 
2) инвариантность. Векторное уравнение не зависит от системы координат и без труда переводится в координатную запись 
в любой удобной системе координат; 
3) наглядность. Дифференциальные операторы векторного 
анализа и связывающие их соотношения обычно имеют простое и 
наглядное физическое истолкование. 
Векторные операторы 
В настоящем руководстве описаны наиболее часто применяемые векторные операторы: 
 ротор и дивергенция (для векторных полей); 
 градиент и лапласиан (для скалярных полей). 
Результатом действия векторного оператора на скалярную величину может стать векторная функция или, наоборот, векторной 
величине ставится в соответствие скаляр. Кратко это представлено в табл. 1. 
Оператор Гамильтона, обозначаемый символом  и называемый также оператором набла, является просто удобной компактной записью векторных операторов. Формально он представ3 




ляет собой вектор с координатами 
;  
; 
x
y
z


 и обладает свойствами как вектора, так и линейного оператора. 
Таблица 1 
Оператор 
Обозначение 
Описание 
Тип преобразования 
Скаляр 
вектор 
Градиент grad f
f
 
Определяет направление и 
скорость быстрейшего возрастания скалярного поля 
Дивергенция 
div 

F
F  
Характеризует источники  
и стоки векторного поля 
Вектор 
скаляр 
Вектор  
вектор 
Ротор 
rot 

F
F  
Характеризует вихревую 
составляющую векторного 
поля 
Лапласиан 
2
f
f
f

 Показывает связь дивергенции с градиентом 
Скаляр  
скаляр 
Основные формулы и определения 
Для решения многих задач в физике и механике применяются 
методы векторного анализа. В этих задачах рассматриваются физические поля, например электромагнитное или гравитационное. 
Совокупность значений некоторой величины, заданных в каждой 
точке определенной области, называется полем.  
Поле называется скалярным, если физическое явление, его образующее, характеризуется скалярной функцией 
( , , )
f
f x y z

, зависящей только от координат точек пространства, в котором это 
явление происходит. Скалярное поле полностью определено заданием одной функции 
( , , )
f x y z  трех независимых переменных. Эта 
функция, независимо от ее физического смысла, называется потенциалом поля. На рис. 1 приведены примеры скалярных полей. 
Если физическое явление скалярное, то каждой точке 
1
1
1
(
, , )
P x y z
 пространства, в котором происходит это явление, ставится в соответствие определенное число, характеризующее данное явление в рассматриваемой точке. Это число есть значение 
функции  ( , , )
f x y z , вычисленное в точке 
.
P  Примерами скалярного поля являются поле электростатического потенциала, атмосферное давление. 
4 

 
Рис. 1. Линии равных температур (°С) при движении точечного источника теплоты по поверхности полубесконечного тела:  
а — сечение в горизонтальной плоскости; б — сечение в вертикальной плоскости 
Поле называется векторным, если физическое явление, его 
образующее, характеризуется векторной функцией, т. е. в каждой 
точке M  пространства определены координаты вектора :
b  






, , 
( , , )
( , , )
, , 
,
M
x y z
P x y z
Q x y z
R x y z




b
b
i
j
k  
где 

, , ,
P x y z   

, , ,
Q x y z
 

, , 
R x y z
 
 — координаты вектора 

, , .
x y z
b
 
Примерами векторных полей могут служить гравитационное, 
электростатическое поля, а также поле скоростей движущейся 
жидкости:  
1) если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей 
с некоторой скоростью, вообще говоря, различной в разных точках, каждой точке M  можно поставить в соответствие вектор 
скорости 
(
)
M

v
v
, то получится векторное поле скоростей 
движущейся жидкости; 
2) если в области распределена некоторая масса, то на материальную точку с единичной массой, помещенную в данную точку M  области, действует гравитационная сила 
(
)
M
F
, которая и 
образует поле сил тяготения, или гравитационное поле; 
3) если на единичный электрический заряд, помещенный в 
точку 
,
M  действуют с определенной силой 
(
)
M
F
 электрические 
заряды, распределенные в некоторой области, то эти силы обра5 

зуют векторное поле, которое называется электростатическим 
полем. 
В качестве примера на рис. 2 и 3 приведены двумерные векторные поля. 
 
 
Рис. 2. Векторное поле 
2
2
(
)
xy
x
y



b
i
j  
 
Рис. 3. Векторное поле 
2
(1
)
x
xy



b
i
j   
Если однозначная функция соответствует скалярному полю, 
образованному физическим явлением, то поверхностью уровня 
(или эквипотенциальной поверхностью) этого поля называется 
поверхность, во всех точках которой функция 
( , , )
f x y z  сохраняет одно и то же значение. 
Можно дать другое определение поверхности уровня. 
Геометрическое место точек 
,
M  в которых поле 
(
)
f M  имеет 
заданное значение 
,
C  называется поверхностью уровня скалярного поля 
(
)
f M . 
Поверхности уровня в координатной форме определяются 
уравнением 


, , 
,
f x y z
C

 где C  — постоянная величина. 
Придавая постоянной C  различные числовые значения, получаем семейство поверхностей уровня. Через каждую точку 
пространства проходит одна поверхность уровня. Во всех точках 
поверхности уровня физическое явление протекает одинаково.  
Поверхности уровня, отвечающие различным значениям 
,
C  
заполняют всю область, в которой определено поле, и никакие 
две поверхности 


1
f M
C

 и 


2,
f M
C

 где 
1
2,
C
C

 не имеют 
6