Функциональный анализ и интегральные уравнения. Модули 1, 2. Конспект лекций

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
Е.А. Власова 
Функциональный анализ 
и интегральные уравнения 
(модули 1, 2) 
Конспект лекций 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 517.98 
ББК 22.162 
        В58 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/93/book1262.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Прикладная математика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
Рецензенты: 
канд. физ.-мат. наук  Е.Р. Горяинова, 
канд. физ.-мат. наук  А.В. Мастихин 
 
Власова, Е. А. 
Функциональный анализ и интегральные уравнения (моду- 
В58 
ли 1, 2). Конспект лекций : учебное пособие / Е. А. Власова. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 126, [2] с. 
ISBN 978-5-7038-4210-2  
Издание содержит конспект лекций по дисциплине «Функциональный анализ и интегральные уравнения» (модули 1, 2), изучение которой предусмотрено учебным планом специальности 
«Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Изложены 
основы теории метрических, банаховых и гильбертовых пространств. Представлен материал, включающий основные определения, формулировки и доказательства необходимых теорем. Теоретический материал сопровождается большим количеством подробно разобранных примеров. Даны вопросы для самопроверки 
и подготовки к контрольным мероприятиям по дисциплине. 
Для студентов факультета «Фундаментальные науки» МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «Прикладная 
математика». 
 
 
УДК 517.98 
ББК 22.162 
  
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4210-2  
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015  

Предисловие
Функциональный анализ как самостоятельная математическая дисциплина сформировался в начале XX в. в результате
пересмотра и обобщения ряда понятий математического анализа, алгебры, геометрии и теории множеств. В течение прошлого
века функциональный анализ глубоко проник почти во все области математики. Используя методы функционального анализа,
единым образом удается решать задачи из различных разделов
математики и математической физики. В таких дисциплинах,
как дифференциальные уравнения, теория вероятностей, вычислительная математика, уравнения математической физики, теория управления, методы вычислений, квантовая механика, математическая экономика, и многих других широко востребованы идеи и методы функционального анализа. Функциональный
анализ стал необходимым элементом серьезного математического образования, и преподавание его основ включено в учебные
планы математических, физических и многих инженерных специальностей классических и технических университетов.
Изучение функционального анализа требует от читателя соответствующего уровня подготовки. Для успешного прочтения
пособия необходимо владеть знаниями, полученными при изучении различных дисциплин математического цикла: математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, дифференциальных уравнений, кратных интегралов и рядов. В тексте пособия имеются ссылки на различные учебники
по перечисленным дисциплинам.
Большинство используемых обозначений помещено в перечне
основных обозначений. В нем наряду с их краткой расшифровкой полужирным шрифтом указан параграф, в котором можно
найти их более подробное объяснение. Пособие состоит из трех
глав, параграфы имеют двойную поглавную нумерацию (например, 2.3 — третий параграф во второй главе). Введенные в пособии термины выделены полужирным курсивом. В конце пособия
помещен список рекомендуемой литературы.
3

Основные обозначения
◀и ▶
—
начало и окончание доказательства
𝐴∖𝐵
—
разность множеств 𝐴и 𝐵
𝐴⇐
⇒𝐵
—
высказывания 𝐴и 𝐵равносильны
𝐴=
⇒𝐵
—
из высказывания 𝐴следует 𝐵
∀𝑥
—
для любого 𝑥
∃𝑥:
—
существует такое 𝑥, что ...
∃! 𝑥:
—
существует единственное 𝑥, такое, что ...
∅
—
пустое множество
N
—
множество натуральных чисел
R
—
множество действительных чисел
R*
—
множество действительных чисел без нуля
Q
—
множество рациональных чисел
Z
—
множество целых чисел
R𝑛
—
декартово произведение 𝑛множеств действительных чисел
C
—
множество комплексных чисел
F
—
множество R или C в тех утверждениях, где параллельно рассматриваются действительный и комплексный случаи 2.4
𝑓∘𝑔
—
композиция функций 𝑓и 𝑔
𝑥𝑛(𝑡) −
−
⇒
𝑋
𝑥(𝑡) —
последовательность функций {𝑥𝑛(𝑡)} сходится к функции 𝑥(𝑡) равномерно по множеству 𝑋
(𝑋, r)
—
метрическое пространство с метрикой r
1.1
r(𝑥, 𝑦)
—
расстояние между точками 𝑥и 𝑦в метрическом пространстве 1.1
𝑥𝑛−
→
r 𝑥
—
последовательность {𝑥𝑛}∞
𝑛=1 сходится к 𝑥
по метрике r 1.2
lim
r 𝑥𝑛= 𝑥
—
последовательность {𝑥𝑛}∞
𝑛=1 сходится к 𝑥
по метрике r 1.2
4

𝐾(𝑎, 𝑟)
—
шар с центром в точке 𝑎и радиусом 𝑟
в метрическом пространстве 1.3
𝐾(𝑎, 𝑟)
—
замкнутый шар с центром в точке 𝑎и радиусом 𝑟в метрическом пространстве 1.3
𝑈(𝑎)
—
окрестность точки 𝑎1.3
𝑈(𝑌)
—
окрестность множества 𝑌1.3
𝑌′
—
производное множество для множества 𝑌
1.3
𝑌
—
замыкание множества 𝑌1.3
𝒞[𝑎, 𝑏]
—
метрическое или нормированное пространство непрерывных на отрезке [𝑎, 𝑏] функций 1.5, 2.2
𝒞0[𝑎, 𝑏]
—
метрическое или нормированное пространство многочленов, определенных на отрезке [𝑎, 𝑏] 2.2
ℳ[𝑎, 𝑏] —
метрическое или нормированное пространство ограниченных на отрезке [𝑎, 𝑏] функций 1.5, 2.2
𝒞𝑛[𝑎, 𝑏]
—
метрическое или нормированное пространство функций, имеющих непрерывные на
отрезке [𝑎, 𝑏] производные до 𝑛-го порядка
включительно 1.5, 2.2
𝑚
—
метрическое или нормированное пространство ограниченных числовых последовательностей 1.5, 2.2
𝑐
—
метрическое или нормированное пространство сходящихся числовых последовательностей 1.5, 2.2
𝑐0
—
метрическое или нормированное пространство бесконечно малых числовых последовательностей 1.5, 2.2
𝑠
—
метрическое или нормированное пространство всех числовых последовательностей
1.5, 2.2
5

𝑙𝑝, 𝑝⩾1
—
метрическое или нормированное пространство числовых последовательностей {𝑥𝑛},
𝑛=1
|𝑥𝑛|𝑝< +∞1.5, 2.2
для которых
∞
∑︀
⟨𝑄⟩
—
линейная оболочка системы 𝑄2.1
𝐿1 ⊕𝐿2
—
прямая сумма линейных многообразий 𝐿1
и 𝐿2 2.1
‖𝑥‖, ‖𝑥‖𝐿
—
норма элемента 𝑥в нормированном пространстве 𝐿2.2
(𝑥, 𝑦)
—
скалярное произведение элементов 𝑥и 𝑦
в евклидовом или гильбертовом пространстве 3.1
𝑙2
—
гильбертово пространство действительных
числовых последовательностей {𝑥𝑛}, для
𝑛=1
|𝑥𝑛|2 < +∞3.1
которых
∞
∑︀
𝑥⊥𝑦
—
ортогональные элементы гильбертова пространства 3.3
𝑧⊥𝐿
—
элемент 𝑧ортогонален множеству 𝐿гильбертова пространства 3.3
𝐿⊥
—
ортогональное дополнение к подпространству 𝐿гильбертова пространства 3.3
𝐿⊕𝐿⊥
—
ортогональная сумма подпространств 𝐿
и 𝐿⊥гильбертова пространства 3.3

1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
1.1. Определение метрического пространства
В математическом анализе важнейшую роль играет понятие
предела. В основе различных определений предела лежит то или
иное понятие близости между объектами. В связи с этим естественно попытаться для множеств произвольной природы ввести понятие расстояния между элементами, а затем и понятие
предельного перехода.
Пусть 𝑋— множество произвольной природы, тогда 𝑋× 𝑋
— множество упорядоченных пар (𝑥, 𝑦), где 𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑋, т. е.
𝑋× 𝑋= {(𝑥, 𝑦) : 𝑥∈𝑋, 𝑦∈𝑋}.
Определение 1.1. Говорят, что на множестве 𝑋определена структура метрического пространства, если указана
функция r: 𝑋× 𝑋↦−
→R, удовлетворяющая аксиомам:
1) r(𝑥, 𝑦) = 0 ⇐
⇒𝑥= 𝑦(аксиома тождества);
2) r(𝑥, 𝑦) = r(𝑦, 𝑥) (аксиома симметрии);
3) r(𝑥, 𝑦) ⩽r(𝑥, 𝑧) + r(𝑧, 𝑦) (неравенство треугольника).
Функцию r называют метрикой или функцией расстояния, число r(𝑥, 𝑦) −расстоянием между элементами (точками) 𝑥и 𝑦, аксиомы 1–3 — аксиомами метрики.
Определение 1.2. Метрическим пространством называют пару (𝑋, r), состоящую из множества 𝑋и заданной на
множестве 𝑋× 𝑋метрики r.
Утверждение 1.1. Если (𝑋, r) — метрическое пространство,
то справедливо обратное неравенство треугольника:
∀𝑥, 𝑦, 𝑧∈𝑋: r(𝑥, 𝑦) ⩾|r(𝑥, 𝑧) −r(𝑦, 𝑧)|.
◀Используя аксиому 3 (неравенство треугольника), для любых элементов 𝑥, 𝑦, 𝑧∈𝑋имеем r(𝑥, 𝑧) ⩽r(𝑥, 𝑦) + r(𝑦, 𝑧), значит,
r(𝑥, 𝑦) ⩾r(𝑥, 𝑧) −r(𝑦, 𝑧).
7

C учетом аксиомы 2 получаем
r(𝑦, 𝑧) ⩽r(𝑦, 𝑥) + r(𝑥, 𝑧) = r(𝑥, 𝑦) + r(𝑥, 𝑧),
отсюда
r(𝑥, 𝑦) ⩾r(𝑦, 𝑧) −r(𝑥, 𝑧).
Таким образом, r(𝑥, 𝑦) ⩾|r(𝑥, 𝑧) −r(𝑦, 𝑧)|. ▶
Утверждение 1.2. Если (𝑋, r) — метрическое пространство,
то
∀𝑥, 𝑦∈𝑋: r(𝑥, 𝑦) ⩾0.
◀Для любых 𝑥, 𝑦∈𝑋, согласно аксиомам метрики, имеем
0 = r(𝑥, 𝑥) ⩽r(𝑥, 𝑦) + r(𝑦, 𝑥) = r(𝑥, 𝑦) + r(𝑥, 𝑦) = 2 r(𝑥, 𝑦),
отсюда r(𝑥, 𝑦) ⩾0. ▶
Приведем простейшие примеры метрических пространств.
Пример 1.1. Метрическое пространство (𝑋, r) изолированных
точек, где 𝑋— произвольное множество, а метрика r вводится
следующим образом:
∀𝑥, 𝑦∈𝑋: r(𝑥, 𝑦) =
{︂0,
𝑥= 𝑦,
1,
𝑥̸= 𝑦.
Пример 1.2. Метрическое пространство (R, r), где метрика r
вводится следующим образом:
∀𝑥, 𝑦∈R: r(𝑥, 𝑦) = |𝑥−𝑦|.
Пример 1.3. Метрическое пространство (R2, r), где метрика
r для любых 𝑥= {𝑥1, 𝑥2} ∈R2, 𝑦= {𝑦1, 𝑦2} ∈R2 вводится
следующим образом:
(𝑥1 −𝑦1)2 + (𝑥2 −𝑦2)2.
r(𝑥, 𝑦) =
√︀
8

1.2. Предел последовательности
в метрическом пространстве
Определение 1.3. Пусть
(𝑋, r) — метрическое пространство. Говорят, что последовательность {𝑥𝑛}∞
𝑛=1 ⊂𝑋имеет
предел
𝑥0 ∈𝑋
(сходится к
𝑥0
по метрике
r) тогда и
только тогда, когда lim
𝑛→∞r(𝑥𝑛, 𝑥0) = 0. В этом случае используют обозначения: 𝑥𝑛−
→
r 𝑥0 или lim
r 𝑥𝑛= 𝑥0.
Теорема 1.1. Пусть (𝑋, r) — метрическое пространство, последовательность {𝑥𝑛}∞
𝑛=1 ⊂𝑋, lim
r 𝑥𝑛= 𝑥0 ∈𝑋, тогда любая
подпоследовательность {𝑥𝑛𝑘}∞
𝑘=1 сходится к 𝑥0.
◀Поскольку lim
r 𝑥𝑛= 𝑥0 ∈𝑋, то lim
𝑛→∞r(𝑥𝑛, 𝑥0) = 0. Любая подпоследовательность {r(𝑥𝑛𝑘, 𝑥0)}∞
𝑘=1 числовой последовательности {r(𝑥𝑛, 𝑥0)}∞
𝑛=1 также будет сходиться к нулю, значит,
lim
r 𝑥𝑛𝑘= 𝑥0. ▶
Теорема 1.2. Пусть (𝑋, r) — метрическое пространство, тогда любая последовательность {𝑥𝑛}∞
𝑛=1 ⊂𝑋имеет не более одного предела.
◀Предположим, что последовательность {𝑥𝑛}∞
𝑛=1 имеет по
крайней мере два предела:
lim
r 𝑥𝑛= 𝑎∈𝑋,
lim
r 𝑥𝑛= 𝑏∈𝑋.
Тогда
lim
𝑛→∞r(𝑥𝑛, 𝑎) = 0,
lim
𝑛→∞r(𝑥𝑛, 𝑏) = 0.
Используя неравенство треугольника, для любого натурального
числа 𝑛имеем
0 ⩽r(𝑎, 𝑏) ⩽r(𝑥𝑛, 𝑎) + r(𝑥𝑛, 𝑏).
Переходя к пределу в неравенстве, получаем r(𝑎, 𝑏) = 0, следовательно, 𝑎= 𝑏. ▶
9

Теорема 1.3. Пусть (𝑋, r) — метрическое пространство, последовательность {𝑥𝑛}∞
𝑛=1 ⊂𝑋, lim
r 𝑥𝑛= 𝑥0, тогда для любого элемента 𝑎∈𝑋числовая последовательность {r(𝑥𝑛, 𝑎)}∞
𝑛=1
ограничена.
◀Имеем lim
r 𝑥𝑛= 𝑥0, это означает, что lim
𝑛→∞r(𝑥𝑛, 𝑥0) = 0.
Следовательно, числовая последовательность
{r(𝑥𝑛, 𝑥0)}∞
𝑛=1
ограничена и
∃𝑀> 0 ∀𝑛∈N: r(𝑥𝑛, 𝑥0) ⩽𝑀.
Тогда r(𝑥𝑛, 𝑎) ⩽r(𝑥𝑛, 𝑥0) + r(𝑥0, 𝑎) ⩽𝑀+ r(𝑥0, 𝑎), откуда
вытекает, что последовательность {r(𝑥𝑛, 𝑎)}∞
𝑛=1 ограничена. ▶
1.3. Основные понятия
Определение 1.4. Пусть
(𝑋, r) — метрическое пространство. Множество K(𝑎, 𝑟) ⊂𝑋, где 𝑎∈𝑋, 𝑟> 0, называют
шаром с центром в точке 𝑎и радиусом 𝑟в том случае, если
K(𝑎, 𝑟) = {𝑥∈𝑋| r(𝑎, 𝑥) < 𝑟}.
Определение 1.5. Пусть
(𝑋, r) — метрическое пространство. Множество K(𝑎, 𝑟) ⊂𝑋, где 𝑎∈𝑋, 𝑟> 0, называют
замкнутым шаром с центром в точке 𝑎и радиусом 𝑟в том
случае, если K(𝑎, 𝑟) = {𝑥∈𝑋| r(𝑎, 𝑥) ⩽𝑟}.
Определение 1.6. Пусть
(𝑋, r) — метрическое пространство. Множество 𝑈⊂𝑋называют открытым, если
∀𝑥∈𝑈∃𝑟> 0: K(𝑥, 𝑟) ⊂𝑈.
Определение 1.7. Пусть
(𝑋, r) — метрическое пространство. Множество 𝑈⊂𝑋называют замкнутым, если 𝑋∖𝑈
открыто в 𝑋.
Определение 1.8. Пусть
(𝑋, r) — метрическое пространство. Любое открытое множество 𝑈⊂𝑋, содержащее точку
𝑎, называют окрестностью точки 𝑎и обозначают 𝑈(𝑎).
10