Несобственные интегралы

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
И.Г. Солдатенко, И.Д. Фаликова 
Несобственные интегралы 
 
 
Методические указания к решению задач по курсу 
 «Интегралы и дифференциальные уравнения» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 

УДК 517.382 
ББК  22.161.1 
         С60 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/93/book1255.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Прикладная математика» 
Рекомендовано  
Редакционно-издательским советом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве методических указаний 
 
Рецензент  
д-р физ.-мат. наук, профессор И.К. Волков 
 
 С60 
   Солдатенко, И. Г. 
 
 
      Несобственные интегралы : методические указания к решению задач по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» / И. Г. Солдатенко, И. Д. Фаликова.  Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 34, [6] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4206-5  
Приведены основные определения и формулировки теорем по курсу 
«Интегралы и дифференциальные уравнения» раздела «Несобственные 
интегралы». Разобрано большое количество примеров, что позволяет приобрести необходимые навыки вычисления и исследования на сходимость 
несобственных интегралов. 
Для студентов первого курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей. 
 
 
 
УДК 517.382 
ББК  22.161.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4206-5                                                МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Несобственные интегралы встречаются в прикладных задачах 
(геометрических, физических и др.), в теории числовых рядов (интегральный признак Коши), в теории интегральных преобразований и в доказательствах теорем в различных разделах математики. 
b
Как известно, определенный интеграл 
( )
f x dx

 рассматриваa
ют для функции 
( )
y
f x

, кусочно-непрерывной на конечном 
промежутке [ , ]
a b .  Если конечный отрезок  [ , ]
a b  заменить на бесконечные промежутки [ ,
)
a , (
, ]
b

 или (
,
)
, а кусочнонепрерывную функцию 
( )
f x   на функцию, допускающую точки 
разрыва II рода, то получим несобственный интеграл.  
Применительно к несобственным интегралам можно сформулировать два типа задач: их вычисление (если это возможно) и исследование на сходимость (если вычисление затруднительно или 
нецелесообразно). 
В  предлагаемых методических указаниях в компактной форме 
изложен необходимый для решения задач теоретический материал, 
подробно разобраны примеры, рассмотрены геометрические приложения несобственных интегралов и приведены варианты их типового расчета. 
 
3 

1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ  
С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ  
ИНТЕГРИРОВАНИЯ 
1.1. Определение несобственного интеграла  
от непрерывной функции  
по бесконечному промежутку 
 
Пусть функция 
( )
y
f x

 определена в промежутке [ ,
)
a  и 
интегрируема на любом конечном отрезке [ , ]
[ ,
)
a b
a

. Несобственным интегралом от функции 
( )
y
f x

 по промежутку [ ,
)
a  
b
называется предел определенного интеграла  
( )
f x dx

 при 
a
b : 

b
def
f x dx
f x dx
( )
lim
( )
.




 
b
a
a
Если этот предел существует и конечен, несобственный интеграл 
( )
f x dx


 называется сходящимся; а если этот предел бескоa
нечен или не существует — расходящимся. 
Определенный таким образом интеграл называют несобственным интегралом I рода. 
Если функция 
( )
y
f x

 непрерывна и неотрицательна, то сходящийся несобственный интеграл 
( )
f x dx


 равен площади криa
волинейной трапеции, бесконечно вытянутой вдоль оси Ох и ограниченной прямой x
a

, осью Ох и графиком функции 
( )
y
f x

 
(рис. 1.1). 
4