Уравнения математической физики и специальные функции

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
В.В. Феоктистов, О.Ю. Чигирёва 
Уравнения математической физики 
и специальные функции 
 
Методические указания 
к выполнению домашнео задания 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1

УДК 517.953 
ББК 22.161.6 
        Ф42 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/122/book1177.html 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Математическое моделирование» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана 
в качестве методических указаний 
Рецензент 
д-р физ.-мат. наук, профессор Ю.И. Димитриенко 
 
 Ф42 
    Феоктистов, В. В. 
 
 
   Уравнения математической физики и специальные функции : 
методические указания к выполнению домашнего задания /  
В. В. Феоктистов, О. Ю. Чигирёва. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 45, [3] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4081-8  
Даны основные теоретические сведения из некоторых разделов уравнений математической физики. Рассмотрена задача Штурма — Лиувилля, приведена постановка краевых задач для уравнения Лапласа. Отдельный параграф 
посвящен цилиндрическим функциям и модифицированным функциям Бесселя 1-го и 2-го рода. Показано применение метода разделения переменных при 
решении задач на собственные значения, а также для решения краевых задач  
в цилиндрических областях. Рассмотрены решения типовых задач домашнего 
задания и приведены задачи для самостоятельного решения (с ответами),  
а также условия домашнего задания. 
Для самостоятельной работы студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
обучающихся по специальностям «Радиоэлектронные системы и устройства», 
«Лазерные и оптико-электронные системы», «Оптико-электронные приборы научных исследований». 
 
УДК 517.953 
ББК 22.161.6 
 
 
 
 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
  Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4081-8                                                МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
2 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
Настоящая работа посвящена применению специальных функций к решению краевых задач для уравнения Лапласа и состоит из 
четырех глав. 
В главе 1 на основе оператора Лапласа осуществлена постановка 
краевых задач: первой краевой задачи (задачи Дирихле), второй 
краевой задачи (задачи Неймана) и третьей краевой задачи. Приведены условия разрешимости как внутренней, так и внешней первой 
и второй краевых задач. Сформулированы основные свойства гармонических функций. 
В главе 2 для последующего анализа решений краевых задач 
рассмотрен дифференциальный оператор вида 

(
)
f
pf
qf




, 
действующий на функции на некотором интервале  с концевыми 
точками a, b (a ˂ b), которые могут быть как конечными, так и 
бесконечными. 
В главе 3 при определенных условиях на функции в дифференциальном операторе 

f

 проанализировано уравнение Бесселя. 
Достаточно полно представлены теоретические сведения о цилиндрических функциях. Рассмотрены функции Бесселя, Неймана, 
Ханкеля 1-го и 2-го рода, а также модифицированные функции 
Бесселя 1-го и 2-го рода. 
Глава 4 включает материал, иллюстрирующий практическое 
применение теоретических сведений, изложенных в главах 1—3. 
В методических указаниях подробно разобраны решения типовых задач, которые традиционно вызывают у студентов определенные затруднения. Приведены задачи для самостоятельного решения с ответами, позволяющие проверить понимание изученного 
материала. Даны условия домашнего задания. Приведен список 
рекомендуемой литературы. 
3 

1. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА 
1.1. Уравнение Лапласа 
Для описания стационарных процессов в физике обычно используют уравнения эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа 
0,
u

 
где  — дифференциальный оператор 2-го порядка, называемый 
оператором Лапласа. 
В прямоугольной декартовой, цилиндрической и сферической 
системах координат оператор Лапласа соответственно имеет вид 
2
2
2
2
2
2 ;
x
y
z









 
2
2
2
2
2
1
1
;
r
r
r
r
r
z

















 
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
sin
sin
sin
r
.
r
r
r
r
r


























 
К уравнению Лапласа приводят задачи о стационарном тепловом состоянии однородного тела, равновесном распределении 
электрических зарядов на поверхности проводника, об установившемся движении несжимаемой жидкости и многие другие. 
1.2. Гармонические функции и их свойства 
Функция 

2
u
C

 называется гармонической в области , 
если она удовлетворяет уравнению Лапласа в этой области. 
Перечислим основные свойства гармонических функций. 
4 

Свойство 1. Если гармоническая в ограниченной области  
функция 

1
u
C

, то 






 
0,
u d
n

где  — гладкая поверхность, ограничивающая область , n
r  — 
внешняя нормаль к ; . 
Свойство 2 (теорема о среднем значении). Если функция u  
является гармонической в шаре 
0,
M
R

 радиусом R  с центром в 
точке 
0
M  и непрерывна в замыкании 
0,
M
R

, то ее значение в центре шара равно среднему значению по сфере 
0, :
M
R

 



0
2
1
4
M
R
u M
u P d .
R





 
,
0
Свойство 3 (принцип максимума). Если функция 
const
u 

 
является гармонической в ограниченной области  и непрерывна 
в замыкании , то она достигает своего наибольшего  
и наименьшего значений на границе  этой области. 
1.3. Постановка краевых задач для уравнения Лапласа 
Краевая задача для уравнения Лапласа состоит в нахождении 
функции ,
u  удовлетворяющей в области  уравнению Лапласа и 
некоторому условию, заданному на границе  этой области. Такое 
условие называют граничным и в зависимости от его вида рассматривают следующие краевые задачи: 
 первую краевую задачу, или задачу Дирихле, если задано 
граничное условие 1-го рода 
,
;
u
f P
P

 
 вторую краевую задачу, или задачу Неймана, если задано 
граничное условие 2-го рода 
,
;
u
g P
P
n





 
5