Непрерывность. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
Д.А. Крылов, Н.И. Сидняев 
 
 
Непрерывность. 
Бесконечно малые  
и бесконечно большие функции 
 
Методические указания  
к выполнению домашнего задания  
по математическому анализу 
 
 
 
 
 
 

УДК 517.17 
ББК 22.16 
         К85 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book542.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
 
Кафедра «Высшая математика» 
К85 
большие
 
Рекомендовано  
Учебно-методической комиссией Научно-учебного комплекса 
«Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана 
 
Рецензент 
канд. физ.-мат. наук И.Л. Покровский 
 
    Крылов, Д. А. 
Непрерывность. Бесконечно  
и
 
бесконечно
 
малые
 
функции : методические указания к выполнению домашнего 
задания по математическому анализу / Д. А. Крылов,  
Н. И. Сидняев; под ред. Н. И. Сидняева. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 38, [2] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-4040-5 
Изложены краткие теоретические сведения, примеры с подробными объяснениями, задачи для самостоятельного решения. 
Представлены основы математического анализа. Задачи рассмотрены с позиций анализа элементарных функций. Указания носят 
справочный характер, они помогут студентам младших курсов 
овладеть методами исследования функций и сравнения бесконечно малых и бесконечно больших. 
Для студентов 1-го курса всех специальностей технических 
вузов. 
                                                                                                        
 УДК 517.17 
 ББК 22.16 
 
 
                            
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4040-5                                  МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
В методических указаниях изложены основы математического 
анализа для технических и экономических специальностей вузов в 
строгой, но доступной для понимания форме. Понятия проиллюстрированы различными примерами.  
Методические указания посвящены исследованию непрерывности функции одного переменного, точкам разрыва, их устранению, бесконечно большим и бесконечно малым функциям, а также 
некоторым их применениям при исследовании функций. Предназначены для самостоятельного овладения навыками и умениями 
решения задач математического анализа по указанным темам в 
объеме действующих программ курсов высшей математики. При 
определении содержания методических указаний за основу были 
приняты программы по высшей математике для машиностроительных специальностей.  
Указания содержат пять глав. В гл. 1 рассмотрены основные 
определения и решения задач на разрывы функций. Гл. 2 посвящена теоремам и свойствам непрерывных функций. В гл. 3 введены 
определения и методы сравнения бесконечно малых и бесконечно 
больших функций. В гл. 4 представлены эквивалентные бесконечно малые функции. Гл. 5 посвящена приемам выделения главной 
части.  
Методические указания предназначены студентам разных факультетов МГТУ им. Н.Э. Баумана. В связи с этим в начале каждой 
главы помещены основные определения, теоремы, формулы и методические рекомендации к решению последующих задач; приведены подробные решения типовых задач с краткими пояснениями 
теоретических положений; в конце глав 1, 2, 5 содержится достаточное количество задач для самостоятельного решения. Ответы к 
задачам снабжены указаниями к их решению. Методические указания составлены на основе опыта проведения практических занятий преподавателями кафедры высшей математики и отличаются 
от подобных методических указаний большим количеством методических рекомендаций и способов решения типовых задач и их 
практической направленностью. 
 
3 

1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 
Большинство функций, изучаемых в математическом анализе, является непрерывными, т. е. при небольших изменениях аргумента x функция y изменяется также весьма мало, и график такой функции является сплошной, непрерывной кривой. При некоторых значениях x непрерывность может нарушаться и график 
прерывается — функция имеет разрыв; т. е. значения аргумента, 
при которых происходит разрыв функции, называют точками 
разрыва. 
О п р е д е л е н и е. Функция 

y
f x

 называется непрерывной 
в точке 
0,
x  если она определена в точке 
0
x  и в некоторой ее 
окрестности и имеет в этой точке конечные односторонние пределы, 
равные 
значению 
функции 
в 
точке 
0,
x  
т. е. 
если 




0
0
0
0
0
lim
lim
.
x
x
x
x
f x
f x
f x






 
О п р е д е л е н и е.  Функция 

y
f
x

 называется непрерывной в точке 
0
x , если она определена в точке 
0
x  и в точках некоторой ее окрестности и предел 



0
0
lim
.
x
x f
x
f x


 Или следующее 
определение на языке  (где ,
 — сколь угодно малые числа). 
О п р е д е л е н и е.  Функция 

y
f
x

 называется непрерывной в точке 
0
x , если она определена в этой точке и в некоторой ее 
окрестности и для любого 
0

 можно указать такое 
0,

 что из 
неравенства 
0
x
x

 
следует 
выполнимость 
неравенства 



0
,
f
x
f
x

 т. е. для любых x  из -окрестности точки  
0
x (
0
0
)



x
x
x
 значения функции находятся в -окрестности точки 


0
f
x
 (





0
0
f
x
f
x
f
x


). 
О п р е д е л е н и е.  Функция 

y
f
x

 называется непрерывной в точке 
0,
x  если она определена в этой точке и в некоторой ее 
окрестности и бесконечно малому приращению 
x
 аргумента в 
этой точке соответствует бесконечно малое приращение y
 функции, т. е. если 
0,
x

 то 
0.
y

 
4 

З а м е ч а н и е . Приведенные определения эквивалентны. Их 
использование позволяет упростить решение различных задач. 
С л е д с т в и е .  Из определения 2, в частности, следует, что 



0
0
lim
lim
,
x
x
x
x
f
x
f
x



 т. е. если функция непрерывна, то предел 
функции равен функции предела. 
О п р е д е л е н и е. В том случае, когда функция 

y
f
x

 
определена в точке 
0
x  и в некоторой окрестности 

0
0
,
x
x

 слева от нее и 



0
0
0
lim
,
x
x
f x
f
x



 говорят что функция 

y
f
x

 
непрерывна в точке 
0
x  слева. Аналогично, если функция 

y
f
x

 
определена в точке 
0
x  и некотором интервале 

0
0
,
x
x  справа 
от нее и 



0
0
0
lim
,
x
x
f
x
f
x



 то функция 

y
f
x

 непрерывна в 
точке 
0
x  справа. Понятно, что если функция определена и непрерывна в точке 
0
x  и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.  
Т е о р е м а . Если функции 

f
x  и 

x

 непрерывны в точке 
0
x
x

, то функции 
,
c f
x

 

,
f
x
x

 


f
x
x

 и 


f
x
x

 




0
0
x


 также непрерывны в этой точке. 
Т е о р е м а . Если функция 

x
t

 непрерывна в точке 
0,
t
t

 
а функция 

y
f
x

 непрерывна в точке 

0
0 ,
x
t

 то и сложная 
функция (композиция) 



y
f
t


 непрерывна в точке 
0.
t
t

 
Т е о р е м а . Все элементарные функции непрерывны в каждой 
точке области определения. К элементарным функциям относят: 
1) полиномы (многочлены) 
1
2
0
1
2
...
;
n
n
a
a x
a x
a x




 
2) показательные функции 
;
x
a
 
3) логарифмы log
;
a x  
4) тригонометрические и обратные тригонометрические функции sin ,
x  cos ,
x  tg ,
x  ctg ,
x  arcsin ,
x  acrcos ,
x  arctg ,
x  arcctg .
x  
5) любую комбинацию, полученную с помощью конечного 
числа арифметических операций и(или) композиций функций, указанных в пп. 1–5. 
О п р е д е л е н и е. Точка 
0
x  называется точкой разрыва функции 

f
x , если в ней не выполняются условия непрерывности. 
О п р е д е л е н и е. Точка 
0
x  разрыва функции 

y
f
x

 называется точкой разрыва первого рода, если односторонние пределы 
5