Неопределенные интегралы

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
Е.Б. Павельева 
 
 
 
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ  
ИНТЕГРАЛЫ 
 
Методические указания к решению задач 
по курсу «Интегралы и дифференциальные уравнения» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

П12 
УДК 517.31 
ББК 22.161.1 
         П12 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/109/book318.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Высшая математика» 
Рецензент  
канд. физ.-мат. наук, доцент И. Л. Покровский  
Рекомендовано Учебно-методической комиссией  
Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки»  
МГТУ им. Н.Э. Баумана 
Павельева, Е. Б. 
 Неопределенные интегралы : методические указания к 
решению задач по курсу «Интегралы и дифференциальные 
уравнения» / Е. Б. Павельева. — Москва : Издательство МГТУ  
им. Н. Э. Баумана, 2014. – 91, [1] с.  
ISBN 978-5-7038-3929-4 
Рассмотрены основные приемы и методы вычисления неопределенных интегралов. Приведены краткие теоретические сведения, и 
подробно разобрано около ста примеров различной степени сложности. В конце каждого подраздела даны примеры для самостоятельного решения, а в конце работы — ответы к этим примерам. 
Для студентов всех специальностей МГТУ им. Н. Э. Баумана. 
Может быть полезным при самостоятельном изучении методов 
вычисления неопределенных интегралов. 
УДК 517.31 
ББК 22.161.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-3929-4                                  МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 

Глава 1. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ  
И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПУТЕМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ 
1.1. Понятие неопределенного интеграла. Таблица интегралов. 
Простейшие правила и приемы интегрирования 
Определение 1.1. Функция 
( )
F x  называется первообразной 
для функции 
( )
f x  на интервале 

,
,
a b
 если для любого 


,
x
a b

 
выполняется равенство 
( )
( ).
F x
f x


 
Например, функция 
2
( )
4
F x
x


является первообразной 
для функции 
x
f x
2
( )
4
x


 на интервале 

2, 2 ,

 так как 
x
x


2
2
4
4
x




 


2, 2 ;
x

 функция 
( )
cos
F x
x

 является 
первообразной для функции 
( )
sin
f x
x

на бесконечной прямой 


,
,

 так как 

cos
sin
x
x

 


,
.
x

 Функция 
( )
ln
F x
x

 является первообразной для функции 
1
( )
f x
x

 на по
 


0,
;
x


 функция 
лупрямой 

0,
,

 так как 

1
ln x
x
( )
ln(
)
F x
x


 является первообразной для функции 
1
( )
f x
x

 на 



 


, 0 ;
x

 таким 
полупрямой 

, 0 ,

 так как 




1
ln
x
x
образом, функция 
( )
ln
F x
x

 является первообразной для функции 
1
( )
f x
x

 на 



, 0
0,
.



 
3 

Теорема 1.1. Если функция 
( )
F x  является первообразной для 
функции 
( )
f x  на 

,
,
a b
 то любая первообразная для функции 
( )
f x  на интервале 

,
a b  имеет вид 
( )
,
F x
C

 где C — некоторая 
постоянная.  
Определение 1.2. Совокупность всех первообразных функций 
для данной функции 
( )
f x  на интервале 

,
a b  называется неопределенным интегралом от функции 
( )
f x  на интервале 

,
a b  и 
обозначается символом 
( )
.
f x dx

 
Если функция 
( )
F x  — одна из первообразных для функ- 
ции 
( )
f x  на 

,
,
a b
 то 
( )
( )
,
f x dx
F x
C



 где C — любая постоянная.  
Например, 
2
2
4
4
x
dx
x
C
x






 на интервале 

2, 2 ,

 
так как функция 
2
( )
4
F x
x


 является первообразной для 
функции 
x
f x
2
( )
4
x


 на интервале 

2, 2 ;

 


sin x dx



 
cos x
C


 на бесконечной прямой 

,
;

 
1
ln
dx
x
C
x



  
на 



, 0
0,
.



 
Теорема 1.2. Для любой функции, непрерывной на интервале 


,
,
a b
 на этом интервале существует неопределенный интеграл.  
Свойства неопределенного интеграла: 
1) 

( )
( )
( )
( )
;
f x
g x
dx
f x dx
g x dx






 
2) 

( )
( )
,
A f x
dx
A
f x dx



 
0
A 
, A  — постоянная; 
3) 

( )
( );
f x dx
f x


 
( )
( )
;
d
f x dx
f x dx


 
4) 


F
x dx
F x
C




; 
( )
( )
dF x
F x
C



, C — любая постоянная. 
 Основные неопределенные интегралы приведены в табл. 1.1. 
 
 
4 

Таблица 1.1 
№ п/п 
Основные неопределенные интегралы 
1 
0dx
C


 
2 
1
1
x
x dx
C






 
1
.  
В частности: 
при 
0

 1
,
dx
x
C



 



 
при 
1/2

 
1
2
,
dx
x
C
x
при 
2
 
2
1
1
dx
C
x
x



 
3 
1
ln
,
dx
x
C
x



 
1
ln
dx
x
a
C
a
x
a






 
4 
e
e
,
x
x
dx
C



 
x
x
a
a dx
C
a



 
0,
1
a
a

 
,
ln
5 
sin
cos
x dx
x
C



 
6 
cos
sin
x dx
x
C



 
7 
2
1
tg
cos
dx
x
C
x



 
8 
2
1
ctg
sin
dx
x
С
x



 
9 
1
1
1 cos
ln
ln tg
sin
2
1
cos
2
x
x
dx
C
C
x
x













 
10 


1
1
1
sin
ln
ln tg
cos
2
1 sin
2
4
x
x
dx
C
C
x
x















 
11 
sh
ch
x dx
x
C



 
12 
ch
sh
x dx
x
C



 
13 
2
1
th
ch
dx
x
C
x



 
 
5 

Окончание табл. 1.1 
№ п/п 
Основные неопределенные интегралы 
14 
2
1
cth
sh
dx
x
C
x



 
15 
2
arcsin
,
arccos
,
1
x
C
dx
x
C
x







 
arcsin
,
2
2
arccos
,
x
C
dx
a
x
a
x
C
a










0
a


 
16 
2
2
2
2
ln
,
dx
x
x
a
C
x
a






 
0
a

 
17 
x
C
dx
x
C
x
2
arctg
,
arcctg
,
1







 
2
2
1 arctg
,
0
1 arcctg
,
x
C
dx
a
a
a
x
a
x
C
a
a












 
18 
2
2
1 ln
,
2
dx
x
a
C
x
a
a
x
a






 
0
a

 
2
2
1 ln
,
2
dx
x
a
C
a
x
a
x
a






 
0
a

 
 
Для проверки формул, приведенных в табл. 1.1, достаточно 
убедиться в том, что производные выражений, стоящих в правых 
частях этих формул, совпадают с соответствующими подынтегральными функциями. 
Примеры  
Используя свойства неопределенного интеграла и формулы 
табл.1.1, найти следующие интегралы. 
Пример 1.1. 
3
7
3
2
5
6
4
1
.
x
dx
x
x










 
Разобьем интеграл на сумму и разность интегралов, вынесем 
за знак интеграла постоянные множители и запишем подынтегральные функции в таком виде, чтобы легко было воспользоваться формулой 2 из табл. 1.1: 
6 

2
3
7
3
5
4
6
1
x dx
x dx
x
dx
dx










3
7
3
2
5
6
4
1
x
dx
x
x











x
x
x
x
C
x
x
x
C
x

















. 
1
2
3
7
1
1
3 1
3
7
4
5
2
5
42
5
4
6
3
1
2
3 1
2
5
1
1
3
7
Пример 1.2. 


1
2
.
x
x
x
dx




 
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим 
x
x
x
dx
x x
x
dx
1
2
3
2













3
1
2
2
x dx
x dx
dx
3
2 1











x
x
x
C






=
2
2
2
2
.
5 x
x
x x
x
C




 
3
1
2
2
1
1
3
2
3
1
1
1
2
2
Пример 1.3. 


  
5
7
2
.
x
dx
x
Разделим почленно числитель на знаменатель:  
7
5







1
2
5
7
2
1
2
x
x
dx
dx
dx
x
x
x
9
9
10
10
x
x dx
x
C
x
C
x
x
C













 
1
10
19
10
2 2
4
4
.
9
19
1
10
dx
Пример 1.4. 
2 .
4
9
x


  
Чтобы можно было воспользоваться формулой 15 из табл. 1.1, 
вынесем множитель 9 за знак радикала: 
dx
dx
dx



2
2
2
2
x
x
x







 
x
x
C
C





1
1
3
3
4
4
9
2
9
3
1
1
3
arcsin
arcsin
.
2
3
3
2
3
7 

Пример 1.5. 
2
5
.
3
6 dx
x 

 
Чтобы можно было воспользоваться формулой 18 из табл. 1.1, 
вынесем множитель 3 за скобки. Тогда 



dx
dx
dx
x
x
x
2
2
2
2
5
5
5
3
6
3
2
3
2








 
x
x
C
C
x
x
5
1
2
5
2
ln
ln
.
3 2 2
2
6 2
2









x
x
x
dx



. 
Пример 1.6. 3 2
2 3
2
Разделим почленно числитель на знаменатель и воспользуемся 
формулой 4 из табл. 1.1. Тогда 
x
x
x
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x




3 2
2 3
3 2
2 3
3
3 1
2
2
2
2
2






















x
 
x
x
x
C
x
C


1
3
3
2
3
2
3
.
3
3
2
ln
ln
2
2


















2
Пример 1.7. 


2
2
1
2
.
1
x
dx
x
x



 


Представив числитель в виде 

2
2
1
,
x
x


 разделим почленно 
числитель на знаменатель: 
2
2
2




2
2
2
2


x
x
x
dx
dx
x
x
x
x
1
2
1
1
1











 
2
2


dx
dx
x
C
x
x
x
1
1
1
arctg
.
1






Пример 1.8. 
2
ctg
.
x dx

 
Используя основное тригонометрическое тождество и поделив 
почленно числитель на знаменатель, представим 
2
ctg x  в виде 
8 

2
2
2
2
2
cos
1 sin
1
ctg
1.
sin
sin
sin
x
x
x
x
x
x





 
Далее воспользуемся формулой 8 из табл.1.1. Тогда 
2
2
1
ctg
1
ctg
.
sin
xdx
dx
dx
x
x
C
x








 
2
Пример 1.9. 
2
4
16
x
dx
x 

. 
Представив числитель в виде 


2
2
4
4
16
64
x
x



 и разделив 
почленно числитель на знаменатель, воспользуемся формулой 18 
из табл. 1.1:  
2
2


2
2
2
2
4
16
64
4
4
64
16
16
4
x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x















 
1
4
4
4
64
ln
4
8ln
.
2 4
4
4
x
x
x
C
x
C
x
x











4
4
Пример 1.10. 




 
3
2
.
x
x
dx
x
Учитывая, что  


2
4
4
2
2
2
,
x
x
x
x






  
4
4
2
2
2
,
x
x
x
x






  
получим  
2
1










4
4
2
2
5
3
3




 
4

4
x
x
x
x
dx
dx
dx
x dx
x
x
x
x
x
C
x
C
x
1
ln
ln
.
4
4







1
,
dx
x
a
x
b



 
.
a
b

 
Пример 1.11. 


____________ 
 Здесь и далее «звездочкой» обозначены примеры повышенной 
сложности. 
9 

Учитывая, что 



,
x
a
x
b
b
a





 представим числитель в 
виде 






1
1
.
x
a
x
b
b
a





  
Далее, разделив почленно числитель на знаменатель, получим 
1
1






x
a
x
b
dx
dx
x
a
x
b
b
a
x
a
x
b
















 
1
1
1
1
ln
ln
.




dx
dx
x
b
x
a
C
b
a
x
b
x
a
b
a

















x
x


. 
Пример 1.12*. 


4
2
1
dx
Учитывая, что 


2
2
1
1
,
x
x



 и разделив почленно числитель 
на знаменатель, получим 
2
2
4
2
4
2
4
2
2




x
x
dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
1

















2
2
3
2
2
3
2
2



1
1
1
1
1
3
1
3
1
x
x dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x














3
1
1
arctg
.
3
x
C
x
x




 
Пример 1.13*. 


1
2
x
dx
x
x



. 
Представим числитель x  в виде линейной комбинации 

1
x 
 
и 

2 :
x 
 




1
2 .
x
x
x




 Множители  и  найдем, приравнивая коэффициенты при x  и 
0:
x  
x : 1
;
 
0
x : 0
2 .
 
Таким образом, 
2
1
,
3
3


 и 




2
1
1
2 .
3
3
x
x
x




 Далее, разделив почленно числитель на знаменатель, получим 
10