Методические указания к выполнению домашнего задания по теме «Кривые второго порядка»

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
И.В. Дубограй, В.И. Леванков, Е.В. Максимова 
 
 
 
 
 
 
 
Методические указания 
к выполнению домашнего задания  
по теме «Кривые второго порядка» 
 
 
 
 
 
Под редакцией В.И. Леванкова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва  
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана  
2013 
 
1

УДК 512.86 
ББК 22.143 
        Д79 
Рецензент В.Ф. Панов 
Дубограй И. В. 
Д79         Методические указания к выполнению домашнего задания по 
теме «Кривые второго порядка» / под ред. В.И. Леванкова. — М.: 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 50, [2] с., ил.  
 
ISBN 978-5-7038-3799-3 
Содержат краткие теоретические сведения по теме «Кривые второго 
порядка», подробно разобранные примеры и условия типового расчета. 
Для самостоятельной работы студентов первого семестра, изучающих 
линейную алгебру. 
 
 
УДК 512.86 
 
ББК 22.143 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
Дубограй Ирина Валерьевна  
Леванков Владимир Иванович  
Максимова Елена Владимировна  
 
Методические указания  
к выполнению домашнего задания 
по теме «Кривые второго порядка» 
Редактор О.М. Королева 
Корректор О.Ю. Соколова 
Компьютерная верстка Е.В. Ляшкевич 
Подписано в печать 13.11.2013. Формат 6084/16.  
 Усл. печ. л. 3,02. Тираж 320 экз. Заказ 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5., стр. 1. 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3799-3                                             © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 
 
2 

ВВЕДЕНИЕ 
Данные методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов при изучении темы «Кривые второго 
порядка» и содержат варианты домашнего задания для студентов 
I курса. 
«Математики имеют обыкновение изучать вещи, кажущиеся 
совершенно бессмысленными, но проходят века, и эти исследования приобретают огромную научную ценность. Лучший пример 
этому — исследования древними греками кривых второго порядка, 
отличных от окружности. 
Первым их начал изучать один из учеников Платона. До XVII в., 
когда Кеплер открыл, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а Галилей доказал, что траекторией движения снаряда 
является парабола, эти кривые не находили себе применения. Аполлоний из Перги, древнегреческий геометр (III в. до н. э.), посвятил 
этим кривым трактат «Конические сечения», где впервые показал, 
что можно получить все четыре кривые, рассекая конус под разными углами»1.  
В итоге работы над темой «Кривые второго порядка» вы должны знать: 
1) определения окружности, эллипса, гиперболы, параболы; 
2) канонические уравнения этих кривых; 
3) геометрический смысл параметров, входящих в уравнения, и 
соотношения между ними, 
а также должны уметь: 
1) вывести канонические уравнения кривых второго порядка; 
2) определить тип кривой по ее пятичленному уравнению; 
3) привести пятичленное уравнение кривой к каноническому 
виду; 
4) по уравнению кривой сделать чертеж, определив параметры, 
фокусы, директрисы, асимптоты; 
5) по чертежу составить каноническое уравнение кривой.  
_____________ 
1 Гарднер М. Математические досуги. М., 1972. С. 19—30. 
 
3 

1. НЕСМЕЩЕННЫЕ КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 
1.1. Эллипс 
y
( , )
M x y
x
O
1(
,0)
F
c

2 ( ,0)
F c
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. 
Выведем каноническое уравнение эллипса. Пусть фокусами 
эллипса являются точки 
1
F  и 
2.
F  Выберем следующее расположение координатных осей на плоскости. Начало координат О поместим в середине отрезка 
1
2,
F F  ось Ох проведем через фокусы в 
направлении от 
1
F  к 
2,
F  ось Оу — перпендикулярно к оси Ох через точку О (рис. 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 1 
 
Обозначим расстояние между фокусами эллипса F1 и  F2 через 
2c. Тогда в выбранной системе хОу координаты точек F1 и  F2 соответственно будут (–c, 0) и (c, 0). Для любой точки М(x, y) эллип- 
са по определению имеет место равенство 
 
4 

2
2 ,
MF
MF
a


 
(1.1) 
где 2a  — упоминаемая в определении постоянная величина. Заметим, что 
,
a
c

 так как сумма двух сторон треугольника 2a  
больше третьей его стороны 2c (см. рис. 1). 
Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем из (1.1) 
2
2
2
2
2 .
х
с
у
х
с
у
а






 
 




Это и есть уравнение эллипса. Упростим его. Освободимся от 
радикалов. Перенесем второй корень в правую часть равенства и 
возведем обе части равенства в квадрат, одновременно раскрывая 
скобки и приводя подобные члены. Оставшийся радикал снова перенесем  в левую часть равенства. Обязательно проделайте эти преобразования. Получим 
2
2
2
2
2
.
a x
cx
c
у
a
cx





 
Еще раз возведем в квадрат обе части уравнения, перенесем 
члены с текущими координатами в левую, а постоянные — в правую часть равенства, поделим обе части на 
2
2
2
(
).
a
a
c

 Проделай2
2
те эти преобразования. Получите 
2
2
2
1.
х
y
a
a
c



 Так как a
c

, 
то можно обозначить 
2
2
2
a
c
b


. Тогда  
2
2
 
2
2
1.
х
y
a
b


  
(1.2) 
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. 
Исследуем форму эллипса по его уравнению. 
1. Сумма двух положительных слагаемых равна 1. 
2
2
Следовательно, 
2
2
1 и
1
и
,
х
y
a
x
a
b
y
b
a
b







 
т. е. эллипс лежит внутри прямоугольника, определяемого этими 
неравенствами. Начертите систему координат и постройте этот 
прямоугольник. 
2. Так как уравнение (1.2) содержит только квадраты текущих 
координат, то если точка ( ,
)
x y  принадлежит эллипсу, то и точки 
 
5 

( ,
), (
, ), (
,
)
x
y
x y
x
y




 принадлежат эллипсу. Следовательно, 
эллипс имеет две оси симметрии — оси координат. 
Определение. Точка пересечения осей симметрии O  называется центром эллипса. 
3. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. При 
0
,
y
x
a


 при 
0
.
x
y
b


 Точки 


1
; 0 ,
A
a

 


2
; 0 ,
A
a
 




1
2
0;
,
0;
B
b
B
b

 называются вершинами эллипса. Постройте 
их на том же чертеже, где построили прямоугольник. Они лежат 
на сторонах построенного прямоугольника. Отрезки 
1
2
A A  и 
1
2,
B B  
а также их длины 2a  и 2b  называются большой и малой осями 
эллипса, a  и b — полуосями. Достаточно построить кривую по 
точкам при 
0,
0
x
y


, а затем использовать симметрию. Постройте кривую (рис. 2).  
Замечание. Из соотношения 
2
2
2
a
c
b


между параметрами  
можно определить положение фокусов, построив прямоугольный 
треугольник по катету b  и гипотенузе a (см. рис. 2). 
4. Форма эллипса характеризуется отношением половины расстояния между фокусами к его большой полуоси. Это отношение 
называется эксцентриситетом эллипса и обозначается ε ; ε
с
a

 
2
1
,
b
a







 так как 0
,
c
a


 то 0
ε
1.


 
Чем больше ε , тем больше расстояние от центра до фокусов и 
тем более сплющен элy
липс. При ε
0
1,
b
a


 
B2
b
a
c
x
A1
A2
O
F1
F1
F2
B1
т. е. b
a

 и эллипс 
превращается в окружность 
2
2
2.
x
y
a


 
Замечание. 
Можно 
систему координат ввести иначе: через фокусы 
провести ось Оу. Вид 
канонического уравнеРис. 2 
 
6