Теория поля

Московский государственный технический университет 
им. Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
А.Ю. Аникин, Н.И. Сидняев, С.К. Соболев  
 
 
ТЕОРИЯ ПОЛЯ 
 
 
 
 
Методические указания к решению задач  
по курсу «Кратные интегралы и ряды» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана 
2013 
1 

УДК 517.2 + 517.3 
ББК 22.16 
  А67 
 
Рецензент Ю.И. Димитриенко 
 
Аникин А. Ю. 
А67  
Теория поля : методические указания к решению задач  
по курсу «Кратные интегралы и ряды» / А. Ю. Аникин, 
Н. И. Сидняев, С. К. Соболев. — М.: Изд-во МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, 2013. — 106, [2] с. 
ISBN 978-5-7038-3763-4 
Изложены основы векторного анализа — скалярные и векторные поля на плоскости и в пространстве, операции над этими полями и связи между ними, а также наиболее важные интегральные 
теоремы теории поля (Грина, Гаусса—Остроградского и Стокса). 
Разобраны примеры разной степени сложности, в частности, все задания типового расчета по теории поля. Приведены задачи для самостоятельного решения с ответами и указаниями.  
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих и применяющих векторный анализ. 
Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
УДК 517.2 + 517.3 
ББК 22.16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3763-4                                            © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 
 
2

Введение 
Теория поля, или векторный анализ, — это раздел математики, 
где методы математического анализа применяются к скалярным и 
векторным полям, т. е. к скалярным и векторным функциям нескольких переменных. При этом как для дифференциальных, так и 
для интегральных операций существуют компактные, независимые от систем координат обозначения. Кроме того, эти операции 
имеют ясный физический смысл. Теория поля широко применяется в физике и технике, в науках, изучающих движение жидкостей 
и газов, т. е. в гидродинамике и газодинамике. Для понимания теории поля надо хорошо знать кратные интегралы, а также криволинейные и поверхностные.  
В начале каждой главы даны определения, сформулированные 
свойства и теоремы, приведены все необходимые формулы. Затем 
подробно разобраны примеры, в том числе из физики и гидродинамики. Окончание каждого примера помечено квадратиком „. 
В конце каждой главы имеются задачи для самостоятельного решения с ответами.  
3 

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
1.1. Скалярные и векторные поля 
Скалярным полем в п-мерном пространстве 
n
R  называется 
функция, которая каждой точке 
1
2
( ;
;...;
)
n
M x x
x
 некоторой области 
n
Ω ⊆R  ставит в соответствие некоторое число (скаляр) 
(
)
U M =  
1
2
(
,
,...,
)
.
n
U x x
x
=
∈R  Таким образом, скалярное поле — это просто 
функция нескольких переменных. В частности, скалярное поле на 
плоскости (в пространстве 
2
R ) — это функция двух переменных 
( , )
U x y , а скалярное поле в трехмерном пространстве – функция 
трех переменных 
( , , ).
U x y z  
Примеры скалярных полей в трехмерном пространстве — 
температура, давление (жидкости или газа), плотность массы или 
заряда. Скалярное поле может быть задано формулой, например, 
на плоскости: 
2
2
( , )
4
.
U x y
x
y
=
+
 
Векторным полем в п-мерном пространстве 
n
R  называется 
функция, которая каждой точке 
1
2
( ;
;...;
)
n
M x x
x
 некоторой области 
n
Ω ⊆R  ставит в соответствие некоторый п-мерный вектор 
1
2
(
)
{ (
);
(
);...;
(
)}
n
M
P M
P M
P M
=
F
, где 
1
2
(
)
(
,
,...,
)
i
i
n
P M
P x x
x
=
 — 
скалярное поле (i-я скалярная компонента векторного поля 
,
F  
1,..., ).
i
n
=
 В частности, на плоскости (в 
2
R ) векторное поле каждой точке 
( ; )
M x y  сопоставляет вектор 
(
)
{ ( , );
( , )}
M
P x y
Q x y
=
=
F
 
( , )
( , ) ,
P x y
Q x y
=
+
i
j  где 
( , )
P x y  и 
( , )
Q x y  — скалярные компоненты 
(рис. 1.1), а в трехмерном пространстве векторное поле определяется 
своими тремя скалярными компонентами:  
(
)
M =
F
 
{ ( , , );
( , , );
( , , )}
P x y z
Q x y z
R x y z
=
=  
( , , )
( , , )
( , , ) .
P x y z
Q x y z
R x y z
=
+
+
i
j
k  
Рис. 1.1 
 
4

Напомним, что i, j, k — взаимно перпендикулярные единичные 
векторы, образующие ортонормированный базис.  
Примеры векторных полей в трехмерном пространстве: поле 
скоростей движущейся жидкости в определенный момент времени; гравитационное поле (поле силы тяжести, производимое массой); электрическое поле (вызываемое электрическими зарядами); 
магнитное поле (производимое движущимися зарядами, т. е. электрическим током).  
В частности, если тело массой m находится в точке, в которой 
гравитационное поле (вызванное другими массами) есть вектор G, 
то на него действует сила притяжения, равная 
.
mG  Аналогично, 
если заряд q находится (в вакууме) в точке, где электрическое поле 
равно Е, то сила, действующая на этот заряд, равна 
.
qE   
Приведем пример векторного поля в пространстве (трехмерном), заданного формулой  
2
2
{(
2 );
; (
2
)}
(
2 )
(
2
) .
y
x
xz
x
y
z
y
x
xz
x
y
z
=
−
+
−
=
−
+
+
+
−
F
i
j
k  
Его скалярные компоненты 
2 ,
P
y
x
=
−
2
Q
xz
=
, 
2
.
R
x
y
z
=
+
−
 
Рассмотрим важнейшие характеристики скалярных и векторных полей.  
1.2. Множество уровня скалярного поля 
Множеством уровня скалярного поля 
(
)
U M  в п-мерном пространстве называется множество всех точек 
1
2
( ;
;...;
)
,
n
n
M x
x
x
∈R
 
для которых поле принимает одно и то же постоянное значение: 
1
2
(
,
,...,
)
const.
n
U x x
x
C
=
=
 В частности, на плоскости множество 
уровня скалярного поля 
( , )
U x y  есть некоторая линия, заданная 
уравнением 
( , )
const,
U x y
C
=
=
 она называется линией уровня,  
а в пространстве множество уровня скалярного поля 
( , , )
U x y z  — 
это 
некоторая 
поверхность 
уровня, 
заданная 
уравнением 
( , , )
const.
U x y z
C
=
=
  
Совокупность линий (поверхностей) уровня скалярного поля, 
соответствующих разным значениям константы С, дает наглядное 
представление о характере этого скалярного поля на плоскости (в 
пространстве). Например, на географических картах средние температуры января изображают изотермами — линиями уровня скалярного поля средних температур января (рис. 1.2). 
5 

 
Рис. 1.2 
 
Предложение 1.1. Через каждую точку области Ω, в которой 
определено скалярное поле, проходит ровно одна линия (поверхность) уровня этого поля.  
Пример 1.1. Найти семейство:  
а) линий уровня скалярного поля 
2
y
U
x
x
=
+
 (нарисовать их); 
б) поверхностей уровня скалярного поля 
2
3 .
W
x
y
z
=
−
+
 
Решение. а. Скалярное поле 
2
y
U
x
x
=
+
 определено во всех 
точках, где 
0
x ≠
, т. е. во всех точках плоскости, кроме оси OY. 
Линии уровня этого скалярного поля задаются уравнением 
(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
(
0).
2
4
y
x
C
x
y
Cx
x
C
y
C
x
x
+
=
⇔
+
=
⇔
−
+
=
≠
 
Последнее уравнение задает семейство окружностей радиусом 
1
2
R
C
=
 с центром в точке (
)
1
; 0 .
2
Q
C
 Все эти окружности прохо 
6

 
Рис. 1.3 
 
 
Рис. 1.4 
дят через начало координат, но это не противоречит предложению 1.1, так как эта точка «выколота» (
0
x ≠
) вместе со всей осью 
OY. На рис. 1.3 изображены линии уровня поля 
( , )
U x y
C
=
, соответствующие значениям константы: 
2;
C =
 
4;
C =
 
3;
C = −
 
6.
C =
 
б.  Поверхности 
уровня 
поля 
задаются 
уравнением 
2
3
,
x
y
z
C
−
+
=
 эти поверхности — параллельные одна 
другой плоскости, поскольку 
перпендикулярны одному и 
тому же вектору 
{2;
1; 3}
−
n
. 
На рис. 1.4 изображены поверхности (плоскости) уровня 
поля 
2
3 ,
W
x
y
z
=
−
+
 соответствующие значениям 
3,
C =
 
6,
C =
 
12
C =
 и 
15
C =
.„ 
 
1.3. Векторные линии векторного поля 
Важной характеристикой векторного поля являются его векторные линии. Векторной линией векторного поля F называется 
ориентированная линия, в каждой точке которой вектор поля F 
является касательным и направление которого совпадает с направлением на этой линии.  
7 

Например, если 
(
)
M
V
 — стационарное (не зависящее от времени) векторное поле скоростей, то любая траектория движения 
представляет собой векторную линию этого поля. Векторные линии дают представление только о направлении векторного поля в 
каждой точке, но не дают информации о модуле вектора поля. Совокупность всех векторных линий, проходящих через некоторую 
поверхность, называется векторной трубкой. 
Дифференциальные уравнения векторных линий векторного 
поля 
1
2
(
)
{ (
);
(
);...;
(
)}
n
M
P M
P M
P M
=
F
 в п-мерном пространстве 
имеют вид  
1
2
n
dx
dx
dx
P x x
x
P x x
x
P x
x
x
=
=
=
. 
1
1
2
2
1
2
1
2
...
(
,
,...,
)
(
,
,...,
)
(
,
,...,
)
n
n
n
n
(Это система из (
1)
n −
 дифференциальных уравнений, записанная 
в симметричной форме.)  
В частности, для векторного поля 
( , )
( , )
P x y
Q x y
=
+
F
i
j  на 
плоскости (в 
2
R ) дифференциальное уравнение его векторных линий имеет вид  
( , ).
( , )
( , )
( , )
dx
dy
dy
Q x y
P x y
Q x y
dx
P x y
=
⇔
=
 
Его решение в явной форме 
( ,
)
y
y x C
=
 или в неявной 
( , ,
)
x y C
ϕ
=  
= 0 содержит одну произвольную константу С.  
Для векторного поля 
( , , )
( , , )
( , , )
P x y z
Q x y z
R x y z
=
+
+
F
i
j
k  в 
трехмерном пространстве векторные линии задаются системой 
дифференциальных уравнений  
 
 
(1.1) 
dy
Q x y z
dx
P x y z
dx
dy
dz
dz
R x y z
P x y z
Q x y z
R x y z
dx
P x y z
( , , ) ,
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
( , , )
.
( , , )
⎧
=
⎪
⎪
=
=
⇔⎨
⎪
=
⎪
⎩
Желательно найти решения этой системы явно, т. е. в виде 
выражений каких-то двух переменных через третью, например, в 
виде 
( ),
( ),
y
g x
z
h x
=
=
 причем эти функции должны содержать 
две произвольные константы (
1
C  и 
2
C ), т. е. на самом деле 
1
2
1
2
( ,
,
),
( ,
,
)
y
g x C C
z
z x C C
=
=
, тогда векторные линии задаются 
параметрическими 
уравнениями 
,
x
t
=
 
1
2
( ,
,
),
y
g t C C
=
 
z =  
1
2
( ,
,
),
h t C C
=
 t ∈R  при всевозможных 
1
C  и 
2
C .  
 
8

Если явные решения системы (1.1) получить не удается, тогда 
их надо найти в неявной форме. Для этого следует определить два 
независимых первых интеграла1 
1
1
( , , )
x y z
C
Φ
=
 и 
2
2
( , , )
x y z
C
Φ
=
 
системы (1.1), тогда каждая векторная линия — это пересечение 
двух поверхностей, заданных соответствующими уравнениями 
x y z
C
1
1
( , , )
,
( , , )
2
2
x y z
C
Φ
=
⎧
⎨Φ
=
⎩
  
при произвольном выборе констант 
1
C  и 
2.
C  
Для нахождения первых интегралов часто используется одно 
свойство обобщенной пропорции.  
1
2
Предложение 1.2. Пусть верна пропорция 
a
a
a
b
b
b
=
=
=
. 
1
2
...
n
n
Тогда, если для некоторых 
1
2
,
,...,
n
λ λ
λ  справедливо равенство 
1 1
2 2
...
0,
n n
b
b
b
λ
+ λ
+
+ λ
=
 то будет верно и 
1 1
2
2
...
n
n
a
a
a
λ
+ λ
+
+ λ
=  
0
=
 (здесь члены пропорции 
,
i
i
a
b  и коэффициенты 
i
λ  могут быть 
как числовыми, так и функциями от одной или нескольких переменных). 
Пример 1.2. Найти и изобразить на плоскости векторные линии поля 
4
y
x
=
⋅+
⋅
F
i
j . 
Решение. Запишем дифференциальное уравнение векторных 
линий  
2
2
1
2
4
2
4
dx
dy
xdx
ydy
x
y
C
y
x
=
⇒
=
⇔
−
=
∫
∫
 
и решим (проинтегрируем) его. 
При 
0
C =
 
это 
будут 
две 
пересекающиеся 
прямые 
y
x
y
x
y
x
2
2
2 ,
4
2 .
=
⎡
=
⇔⎢
= −
⎣
 При 
0
C >
 — это семейство гипербол, для 
которых OX — действительная ось, а OY — мнимая, а при 
0
C <
 — семейство гипербол, для которых, наоборот, OY — дей————— 
1 Напомним, что функция 
( , , )
F x y z  называется первым интегралом системы дифференциальных уравнений (1.1), если 
( , ( ), ( ))
const
F x y x
z x
=
 для любых 
решений ( )
y x  и ( )
z x  этой системы. 
9 

ствительная ось, а ОХ — мнимая. 
Асимптотами всех описываемых гипербол являются прямые 
2 .
y
x
= ±
.  
Для определения направления на 
векторных линиях возьмем несколько 
точек, например, 
1(1; 0),
M
 
2(0; 2),
M
 
3( 2; 3),
M
−
 
4( 1; 2),
M
−−
 и вычислим 
векторы поля в них 
1
(
)
4 ,
M
=
F
j  
Рис. 1.5 
2
(
)
2 ,
M
=
F
i  
3
(
)
3
8 ,
M
=
−
F
i
j  
4
(
)
M
=
F
 
2
4 .
= −
−
i
j  
Эти 
векторы 
задают 
направления на векторных линиях, 
проходящих через соответствующие 
точки (рис. 1.5). „ 
Пример 1.3. Найти векторные линии векторного поля G в пространстве:  
(2
)
( 2
3 )
(
3 ) .
y
z
x
z
x
y
=
−
+ −
+
+
−
G
i
j
k  
Решение. Запишем дифференциальные уравнения векторных 
линий, представляющие собой пропорцию 
 
.
2
2
3
3
dx
dy
dz
y
z
x
z
x
y
=
=
−
−
+
−
 
(1.2) 
Заметим, что 3(2
)
( 2
3 )
2(
3 )
0
y
z
x
z
x
y
−
+ −
+
+
−
≡
. Согласно 
свойству 
пропорции, 
3
2
0
(3
2 )
0
dx
dy
dz
d
x
y
z
+
+
≡
⇒
+
+
=
⇒ 
1
3
2
.
x
y
z
C
⇒
+
+
=
 
Иначе говоря, мы получили первый интеграл этой системы 
дифференциальных уравнений. Чтобы найти другой первый интеграл, умножим знаменатели в (1.2) на х, у и z соответственно и, 
сложив, получим 
(2
)
( 2
3 )
(
3 )
0
x
y
z
y
x
z
z x
y
−
+
−
+
+
−
=
. Следовательно,  
2
2
2
2
2
2
2
1
0
(
)
0
.
2
xdx
ydy
zdz
d x
y
z
x
y
z
C
+
+
=
⇒
+
+
=
⇒
+
+
=
  
Последнее равенство есть искомый другой первый интеграл.  
Таким образом, векторные линии рассматриваемого векторного поля представляют собой пересечения двух поверхностей  
 
10