Функции нескольких переменных

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 
 
И.Г. Зорина, Т.И. Лапшенкова, 
 А.Л. Сунчалина 
 
 
 
ФУНКЦИИ  НЕСКОЛЬКИХ  
ПЕРЕМЕННЫХ  
 
Методические указания 
к выполнению типового расчета 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М о с к в а  
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 1 3  
 
1 

УДК 517.9 
ББК 22.161 
        Ф94 
 
 
Рецензент И.Л. Покровский 
Ф94 
 
     Функции нескольких переменных: метод. указания к выполнению типового расчета / И. Г. Зорина, Т. И. Лапшенкова, А. Л. Сунчалина ; под ред. И. О. Янова. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2013. — 61, [3] с.: ил.  
ISBN 978-5-7038-3677-4 
Приведены краткие теоретические сведения по теме «Функции 
нескольких переменных», разобрано большое число детально решенных типовых примеров, которые предполагают глубокое понимание теоретического материала. Приведены задачи типового 
расчета.  
Для самостоятельной работы студентов, изучающих функции 
нескольких переменных. 
Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
 
  
 
УДК 517.9   
                                                                                                   ББК 22.161 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3677-4                                   © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 
 
2

 
ВВЕДЕНИЕ 
Раздел математического анализа «Функции нескольких переменных», который более точно можно назвать «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», является продолжением раздела «Дифференциальное исчисление (функции 
одной переменной)» и служит фундаментом при изучении последующих частей математического анализа, таких как «Кратные 
интегралы», «Численные методы», «Уравнения математической 
физики» и др. Кроме того, некоторые задачи раздела «Функции 
нескольких переменных» могут найти непосредственное применение на практике, например, поиск экстремума функции нескольких переменных, интерполирование функций по методу 
наименьших квадратов и интерполирование сплайнами, вариационное исчисление и т. д.  
1. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 

Определение. Скалярной функцией векторного аргумента 
называют закон f, по которому каждой точке 


1 ,...,
n
X
x
x

 некоторого множества D из n-мерного вещественного арифметического 
пространства 
n
 поставлено в соответствие единственное веще
 
Функцию 


1 ,...,
,
n
y
f x
x

 
где 
ственное 
число 
.
y
f
X

:
,
f
D  также называют функцией n переменных, или функцией 
нескольких переменных (ФНП).  
Множество D называют областью определения ФНП, а множество 





1
1
,...,
,
,...,
n
n
E
y y
f x
x
x
x
D



 — областью значе 
3


 т. е. справедлива 
ний ФНП. Если ФНП задана формулой, то можно найти ее естественную 
область 
определения, 
состоящую 
из 
всех 


1 ,...,
,
n
X
x
x


 для которых определена 
,
f
X
формула, задающая эту функцию, так как в нее входят только известные элементарные функции, введенные для одной переменной. Используя известные области допустимых значений этих 
элементарных функций, получаем область определения ФНП в 
пространстве 
,
n

 записанную в виде системы неравенств. Изобразить эту область можно на плоскости для 
2
n 
 или в обычном 
трехмерном пространстве для 
3.
n 
  
Пример 1. Найти область определения функции z =  
1
1
.
ln
x
y
x
y




 


Решение. Запишем систему ограничений  
 
 
x
y
x
y
x
y
1,
1,
0,
1.











Рис. 1 
Изобразим эту систему на плоскости. 
Для этого заменим все неравенства на 
равенства, по полученным уравнениям 
построим соответствующие линии, затем с помощью пробных точек установим, где лежит искомая область D 
(рис. 1). 
Линии, входящие в область D, изобразим сплошными линиями, а не входящие — пунктирными. Точки А(1; 0) 
и В(0; 1) — точки разрыва, отрезок АВ 
целиком состоит из точек разрыва и называется линией разрыва. 
Определение. Графиком функции 
:
f
D  называется мно1
1
1
1
,...,
,
,...,
,
,...,
.
n
n
n
n
Г
x
x
y
x
x
D
y
f x
x







 
жество 








 
4

График Г описывает множество точек в (n + 1)-мерном пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению у = 


1
2
,
,...,
.
n
f x x
x

 Графиком функции двух переменных, т. е. 


,
,
z
f x y

 является поверхность. Например, для функции 
2
2
z
x
y


 — это параболоид вращения с осью вращения OZ. 
Существует и другой способ графической интерпретации 
ФНП.  
Определение. Пусть дана функция n-переменных у = f (x1, x2, 
…, xn). Множество 






1
2
1
2
,
,...,
,
,...,
const
n
n
n
x x
x
D
f x x
x




 
называется поверхностью уровня. 
Для функции двух переменных 


,
z
f x y

 получаем линии 
уровня 






,
,
,
.
C
Г
x y
f x y
C C
E




  
Каждая из этих линий  представляет собой кривую на плоскости XOY,  лежащую в области D, во всех точках которой функция 


,
z
f x y

 имеет постоянное значение С. Линии уровня ГС можно 
получить из графика функции Г путем сечения его плоскостями 
z = C, проецируя полученные линии пересечения на плоскость 
XOY. По линиям уровня на плоскости, наоборот, можно представить себе график функции в пространстве, если каждую линию 
уровня ГС на плоскости 
0
z 
 поднять  на С единиц, т. е. расположить ее на плоскости z = C. Таким образом, можно изобразить любую поверхность в пространстве в виде семейства линий уровня на 
плоскости. Это используется, например, в географических картах 
для изображения рельефа местности.  
Рассмотрим функцию 
2
2.
z
x
y


 Линии уровня для этой 
функции — окружности 


2
2
0
x
y
C C



 с центром в начале 
координат и радиусами 
.
C  Если каждую окружность радиусом 
C  поднять на С (по оси OZ), то можно представить себе параболоид вращения, т. е. график исходной функции. 
Для функции трех переменных 


, ,
u
f x y z

 получаем поверхности уровня 






, ,
, ,
,
.
C
Г
x y z
f x y z
C C
E




 Например, 
функция u
x
y
z



 имеет поверхности уровня 
,
x
y
z
C



 
 
5

.
C  Они представляют собой параллельные плоскости, отсекающие от осей координат одинаковые отрезки, равные С. Если 
изобразить эти плоскости и указать на каждой значение С, т. е. u 
(u = C), то можно получить какое-то представление о распределении физического параметра u (например, температуры) по всему 
пространству как о функции трех переменных. 
Пример 2. Используя линии уровня, найти минимальное и 
максимальное значения функции 
2
2
z
x
y


 в области определения функции 



,
arcsin
2
arccos
.
2
y
g x y
x



 
Решение. Линии уровня функции 
2
2
z
x
y


 есть окружности 


2
2
0 .
x
y
C C



 Запишем область допустимых значений дру 
гой функции: 
x
x
y
y
2
1,
1
3,
или
2
2.
1
2














Получим прямоугольник со сторонами 
1,
3,
2,
x
x
y



 
2,
y 
 причем границы входят в область D. Изобразим эту область 
и линии уровня для С = 0 и С = 1 на плоскости (рис. 2).  
 
Рис. 2 
 
Линии уровня С = 1 касаются границы области D и соответствуют минимальному значению функции zmin = 1, так как меньшие 
значения не входят в область D. На рис. 2 пунктиром показана ли 
6

ния уровня, соответствующая С < 1 (z < 1). Она не пересекается с 
областью, поэтому не существует значения z < 1, т. е. минимум 
функции в области D zmin = 1. Для определения zmax надо найти линию уровня с максимальным С, которая пересекает область D хотя 
бы в одной точке, а любая линия уровня, соответствующая большему значению С, не пересекает область D. Такой линией уровня 
является 
2
2
13,
x
y


 т. е. окружность радиусом 
13. Радиус равен длине ОА или ОВ. Координаты точки А(3; 2), отсюда ОА = 
2
2
max
3
2
13,
13.
z




 Этот максимум достигается в точке 
А(3; 2) или В(3; –2). Минимум zmin = 1 достигается в точке (1; 0). 
2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 
Пусть внутренняя точка 


1,...,
n
M
x
x

 принадлежит области 
n
D  задания функции 


1,...,
.
n
y
f x
x

 
Если всем аргументам придать произвольные приращения 
1
2
,
,...,
n
x
x
x



 так, чтобы точка 

1
1
2
2
,
,...,
n
n
x
x x
x
x
x



 
оставалась в области задания функции, то величина 
y
 




1
1
1
,..,
,...,
,..,
,...,
i
i
n
n
i
n
f x
x
x
x
x
x
f x
x
x





 
получит 
название полного приращения или просто приращения функции 


1,..,
n
y
f x
x

 в точке 


1,...,
.
n
M
x
x

 
Зафиксируем все аргументы, кроме одного, например, 


1
,
i
x i
n

 и аргументу 
i
x  придадим произвольное приращение 
i
x

 так, чтобы точка 


1,..,
,...,
i
i
n
X
x
x
x
x


 находилась в области задания этой функции. 
Определение. 
Величина 


1,...,
,...,
i
x
i
i
n
y
f x
x
x
x



 


1,...,
,...,
i
n
f x
x
x

 называется частным приращением функции 
нескольких переменных по 
.
i
x  
Если же всем аргументам придать произвольные приращения 
1
2
,
,...,
n
x
x
x



 так, чтобы точка 

1
1
2
2
,
,...,
n
n
x
x x
x
x
x



 оста 
7