Математическое моделирование процессов в плазменных установках

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
А.М. Зимин 
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ  
ПРОЦЕССОВ В ПЛАЗМЕННЫХ  
УСТАНОВКАХ 
Допущено Учебно-методическим объединением по образованию  
в области энергетики и электротехники в качестве учебного  
пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся  
по специальности 140505 «Плазменные энергетические установки» 
направления подготовки дипломированного специалиста 140500 
«Энергомашиностроение» и по специальности 140403  
«Техническая физика термоядерных реакторов и плазменных  
установок» направления подготовки дипломированного  
специалиста 140400 «Техническая физика» 
М о с к в а 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2 0 0 6 

УДК 533.9:518.12 
ББК 22.33:22.193 
З-62 
Рецензенты: В.М. Градов, И.П. Назаренко 
Зимин А.М. 
З-62 
Математическое моделирование процессов в плазменных  
установках: Учеб. пособие. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 116 с.: ил.  
ISBN 5-7038-2927-5 
Пособие посвящено одному из важнейших этапов конструирования плазменных установок различного назначения – математическому 
моделированию комплекса процессов, протекающих как в самой высокотемпературной среде – плазме, так и в элементах конструкции, 
обеспечивающих работоспособность технических устройств. 
Рассмотрены методы аналитического и численного решения 
систем уравнений различных типов, приведены решения ряда практически важных задач, которые встречаются студентам при выполнении домашних заданий по основным дисциплинам специальностей 140403 и 140505, курсовом и дипломном проектировании. 
Пособие основано на материалах лекций, семинарских и лабораторных занятий по методам математического моделирования 
процессов в плазменных установках, проводимых автором в течение ряда лет в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Ил. 10. Библиогр. 47 назв. 
                                                                                           УДК 533.9:518.12 
           ББК 22.33:22.193 
Учебное издание 
Александр Михайлович Зимин 
Математическое моделирование  
процессов в плазменных  
установках 
Редактор Е.К. Кошелева 
Корректор Р.В. Царева 
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой 
Подписано в печать 21.11.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. 
Печ. л. 7,25. Усл. печ. л. 6,74. Уч.-изд. л. 6,25. 
Тираж 150 экз. Изд. № 131. Заказ 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. 
ISBN 5-7038-2927-5 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006 

 
ВВЕДЕНИЕ 
ОСОБЕННОСТИ ПЛАЗМЕННЫХ УСТАНОВОК  
КАК ОБЪЕКТА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 
Плазменные установки, отличающиеся своим многообразием, 
уникальностью реализуемых параметров, широтой технических 
приложений, имеют ряд существенных особенностей, связанных 
прежде всего с генерацией и изоляцией от элементов конструкции исключительно высокотемпературной рабочей среды – плазмы. Если учесть, что самый тугоплавкий металл – вольфрам – 
плавится при температуре T ≈ 3650 K, а минимальная температура плазмы составляет 7000…10 000 K, становится понятным, какие сложности должен преодолеть конструктор, чтобы плазменное устройство без разрушения его основных элементов смогло 
работать многие сотни часов, что требуется для осуществления 
поставленной задачи. Так, маршевый плазменный двигатель космического корабля для полета к Марсу без изменения основных 
характеристик должен непрерывно работать более года. В то же 
время в создаваемом экспериментальном термоядерном реакторе 
ИТЭР, где температура водородной плазмы достигает 100 млн K, 
ничтожное количество примесей (доли процента) приведет к существенному снижению температуры плазмы и мгновенному 
прекращению термоядерной реакции. Вследствие этого любое 
плазменное устройство имеет целый ряд подсистем, обеспечивающих его длительную работоспособность.  
Ясно, что обоснованно спроектировать плазменное устройство – задача нетривиальная, и очень важную роль в процессе конструирования играет комплексное математическое моделирование процессов не только в самой плазме, но и в многочисленных 
вспомогательных подсистемах, обеспечивающих генерацию  
рабочей среды, требуемые вакуумные условия, создающих необходимые для протекания рабочих процессов конфигурации электрических и магнитных полей, поддерживающих высокую работоспособность электродов, и др. 
 
3

Рассмотрим сначала основные характерные черты математических моделей плазмы. Если проанализировать дисциплины, посвященные проектированию и расчету плазменных установок различного назначения, можно сделать вывод, что модели данного 
класса физических явлений по сравнению с другими объектами 
исследования имеют ряд существенных особенностей.  
1. Весьма широкие диапазоны изменения параметров плазмы 
(концентрация заряженных частиц n = 1010...1022 см–3, температура 
T = 104...108 K, степень ионизации α = 0,001...1 и т. п.). Создать какие-либо универсальные модели, описывающие течения плазмы от 
свободномолекулярного до магнитогидродинамического (МГД), 
практически невозможно. Как и в диагностике плазмы, имеются 
диапазоны параметров, в которых применимы те или иные методики. Для описания процессов в многообразных плазменных установках существует целый набор математических моделей.  
2. Широкий диапазон времен развития характерных процессов 
в плазме. С одной стороны, необходимо рассчитывать динамику 
развития плазменного факела от воздействия короткого лазерного 
импульса (пико- и наносекунды), а с другой – иметь возможность 
моделировать, например, процессы в электроракетном двигателе 
(ЭРД) при длительности работы порядка 104 ч и пролетном времени частицы в канале ускорителя масштаба микросекунды.  
3. Необходимость совместного рассмотрения явлений в плазме 
и элементах конструкции, оказывающих влияние на протекание 
рабочих процессов в системе. Сюда относят эмиссию заряженных и нейтральных частиц, теплопроводность, взаимодействие 
излучения с веществом, испарение и т. п. Типичные примеры  
таких явлений: испарение и сжатие мишени в инерциальном термоядерном синтезе, генерация частиц в плазменных технологических установках, процессы эмиссии и переноса тока на электродах, стабилизация разряда в канале плазмотрона. При этом 
характерные времена развития процессов в элементах системы и 
в плазме отличаются, как правило, на несколько порядков. Отсюда вытекают, например, требования к временнóму разрешению 
модели при расчете динамики процессов. Очень часто, чтобы 
разделить участки, где сказывается влияние обращенных к плазме элементов конструкции и где оно, напротив, несущественно, 
вводят модели пограничного слоя. Тогда для центральной части 
устройства записывают уравнения, относящиеся только к плазме, 
а «сшивку» значений параметров в указанных областях производят на их границе. Такие приемы часто встречаются в теории те 
4

плообмена, гидродинамике, при описании процессов в приэлектродных слоях и т. п.  
4. Существенное влияние внешних электромагнитных полей на процессы в плазменной системе и свойства плазмы 
(
,
,
,
,...),
⊥
⊥
λ  λ
 σ  σ
 
&
&
 а также наличие самосогласованных полей, которые заметно искажают картину «вакуумной» конфигурации. 
Примером может служить влияние электрического поля в ускорителе со скрещенными E×H-полями, которое не позволяет разогнать 
плазму до скорости, превышающей локальную скорость электрического дрейфа. 
5. Большое число различных типов неустойчивостей и колебаний в плазме (в основном в присутствии магнитного поля). Это 
накладывает особые требования на разрешающую способность 
методов. Особое значение имеет анализ неустойчивостей и колебаний для высокотемпературной плазмы и безэлектродных систем.  
Кроме перечисленных выше плазма обладает еще рядом особенностей, которые необходимо учитывать при математическом 
моделировании различного уровня. К ним относится, например, наличие нескольких пространственных масштабов, характеризующих 
протекание процессов, которые существенны для данного плазменного устройства. С учетом этих пространственных масштабов решаемая система уравнений должна включать в себя те или иные 
слагаемые, соответствующие выбранному приближению.  
В качестве примера можно привести пристеночные явления, 
при описании которых выделяют характерные масштабы нарушения квазинейтральности, ионизационного и термического равновесия и т. п. [1]. При реализации таких моделей большое значение 
имеет аккуратная «сшивка» функций и их производных на границах выделяемых пространственных слоев.  
Если рассматривать расчеты плазменных устройств того или иного типа, то самосогласованная замкнутая математическая модель, содержащая описание процессов в плазме, пристеночных слоях и твердом теле (например, в электроде или на стенке, окружающей разряд), 
включает большое число уравнений самых различных типов: от алгебраических (обычно это соотношения, описывающие явления на 
поверхностях твердых тел, – уравнения эмиссии, баланса энергии и 
частиц на границах раздела и т. п.) и обыкновенных дифференциальных до интегродифференциальных и уравнений в частных производ-
ных. Естественно, что, даже овладев теми или иными методами решения отдельных типов уравнений, необходимо для каждой задачи 
 
5

разрабатывать специальный алгоритм расчетов по такой «разнотипной» системе уравнений, который обладает устойчивостью и сходимостью к искомому решению. И, кроме того, он должен быть экономичным во времени, а при использовании численных методов –
реализуемым на современных ЭВМ.  
Именно эта черта – большое число разного типа уравнений в 
математической модели – и является одной из характерных черт 
плазмы как объекта моделирования.  
Существенная особенность постановки плазменных задач – наличие нелинейных граничных условий, которые обусловлены высокой температурой исследуемой субстанции. В качестве примера 
можно привести описание теплообмена излучением на поверхности твердого тела или процессов переноса в оптически толстой 
плазме. Такого рода граничные условия для практически важных 
ситуаций не позволяют получить аналитического решения поставленной задачи.  
Анализируя типы уравнений, которые составляют общую математическую модель, отметим также, что большинство из них 
являются векторными соотношениями. Таковы обобщенный закон Ома, уравнения движения, уравнения Максвелла и др. И хотя 
эти соотношения можно записать в проекциях на оси соответствующей системы координат, делают это в физике плазмы не всегда. Дело в том, что, во-первых, резко возрастает общее число 
решаемых уравнений, а во-вторых, часто требуется найти какиелибо специальные характеристики рассчитываемых полей параметров, которые наглядно представляют исследуемую конфигурацию. Это линии и поверхности уровня, магнитные силовые  
линии, линии тока и потока, вихри и т. п. Для их нахождения используют, как правило, специальные методы решения векторных 
уравнений.  
Резюмируя сказанное, отметим, что на настоящем уровне 
расчета и конструирования плазменных устройств, даже применяя последние достижения теории комплексного переменного, 
аппарат специальных функций, математическое описание течения плазмы с помощью функции потока, векторного и скалярного потенциалов и т. п. (некоторые примеры таких задач будут 
приведены в гл. 1), достаточно полно описать плазменные процессы, опираясь только на аналитические методы, можно довольно редко. По-видимому, именно поэтому ни в одну область 
физики так глубоко не проникли методы численного моделирования, как в физику плазмы [2].  
 
6

Численные методы дают приближенное решение задачи. Это 
значит, что вместо точного решения некоторой задачи мы получаем решение другой задачи, близкое к искомому. Это – основная 
идея всех методов, причем решение аппроксимирующей задачи 
зависит от некоторых параметров, управляя которыми, можно 
найти решение с требуемой точностью.  
Краткий обзор применяемых численных методов будет дан в 
гл. 2.  
Прежде чем переходить непосредственно к использованию 
численных методов, следует, по возможности, максимально упростить постановку самой задачи и ее математическое описание.  
Чтобы обоснованно пренебречь тем или иным слагаемым в 
уравнении, необходимо предварительно оценить его величину 
(например, долю излучаемой энергии в общем балансе). Упрощение модели может быть достигнуто также введением новых переменных, позволяющих либо перейти к более доступному для решения классу уравнений (например, от дифференциального уравнения методами операционного исчисления перейти к алгебраическому), либо изменить вид уравнения (от нелинейного перейти к 
линейному) и т. п. Так, введение новой переменной 
d
S
T
= λ
∫
 в 
нелинейном уравнении Эленбааса–Геллера, описывающем распределение температуры в столбе дуги, 
( )
( )
( )
2
1 d
d
λ
σ
0
d
d
T
r
T
T E
U T
r
r
r

+
−
=




, 
позволяет преобразовать его в линейное относительно функции 
Кирхгофа S: 
( )
( )
2
1 d
d
σ
0.
d
d
S
r
S E
U S
r
r
r

+
−
=




 
Другие способы упрощения: а) замена координат, позволяющая получить, например, в координатах «вихрь – функция потока» 
аналитическое решение ряда задач [3], или использование преобразования координат с помощью конформного отображения и методов теории функций комплексного переменного для аналитического решения двумерного уравнения Пуассона [4]; б) применение 
аналитических способов (методов малого параметра, последова 
7

тельных приближений, метода Фурье и их модификаций). Как 
показывает практика, существует довольно большой класс близких по постановке задач, которые можно решить упомянутыми 
способами. Здесь можно отметить использование функций потока для решения задач гидро-, газо- и плазмодинамики, а также 
скалярных и векторных потенциалов для решения уравнений 
Максвелла [5] и т. п. 
Переходя к рассмотрению численных методов, начнем с анализа различных видов записи основных уравнений [6, 7]. При этом 
важны не только запись уравнений в ортогональных координатах 
различного типа (прямо- или криволинейных), но и связь этих координат с физическими частицами исследуемой субстанции или 
неподвижными точками пространства, в котором происходят 
плазменные процессы.  
В разработке численного алгоритма первым шагом является 
выбор способа описания плазмы. При решении МГД-уравнений 
это обычно делают с помощью конечного набора чисел, задающих 
положение, скорость, плотность, температуру и напряженность 
(индукцию) магнитного поля в рассматриваемом объеме. Указанные числа запоминаются для массива точек, которые образуют 
вычислительную сетку и называются узловыми. Каждая узловая 
точка связана с ячейкой, используемой в качестве контрольного 
объема при построении консервативных разностных схем. Вычислительная сетка в зависимости от вида координат может быть эйлеровой, лагранжевой или обобщенной. Один тип отличается от 
другого относительным движением точек сетки и жидкости, а 
также сложностью разностных уравнений, аппроксимирующих 
пространственные производные. 
Эйлерова сетка неподвижна в лабораторной системе координат, лагранжева неподвижна в системе координат, связанной с 
плазмой. Обобщенная сетка может быть эйлеровой, лагранжевой 
или ни той, ни другой: движение точек сетки по отношению к лабораторной системе координат и к плазме произвольно. Движение 
сетки и определяет роль конвективного переноса. 
Важное место при численной реализации занимают вопросы 
оценки точности применяемых методов, оптимизации разрабатываемых алгоритмов, подбора тестовых задач для проверки сходимости к искомому решению. В численных моделях, которые будут 
представлены в гл. 3 настоящего пособия, нашел отражение анализ 
и этих проблем. 
 
8

 
1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ 
Аналитические модели процессов в плазменных установках 
далеко не всегда позволяют детально описать все особенности явлений с учетом реальных конструктивных решений. Тем не менее 
аналитические решения могут быть найдены не только для одномерных случаев, но и для достаточно сложных ситуаций, когда 
картина течения плазмы является двумерной. Это позволяет, вопервых, разработать инженерные методы расчета сложных технических систем и достаточно корректно оценить параметры среды в 
плазменном устройстве, во-вторых, выявить его принципиальные 
особенности и достаточно обоснованно подойти к конструированию устройства, в-третьих, сформулировать те особенности процессов, которые не учитываются в данной модели и которые 
должны быть рассчитаны только с применением численных методов. Кроме того, аналитические модели представляют большой 
интерес не только сами по себе, но и в качестве тестовых решений 
для проверки сходимости численной модели к искомому решению 
и оценки точности приближения.  
В этой главе рассмотрены несколько неодномерных аналитических моделей процессов (как правило, они получены при непосредственном участии автора настоящего пособия и использовались в 
лекциях, домашних заданиях, при курсовом и дипломном проектировании), которые могут найти применение при решении ряда задач, связанных с теорией и расчетом плазменных устройств различного назначения. Изложены решения сформулированных систем 
уравнений различными методами. Так, в задачах, рассмотренных в 
параграфах 1.1–1.4, нашли применение математическое описание 
течения и конфигурации магнитных полей плазмы с помощью 
функций потока, векторного и скалярного потенциалов; специальные функции; разделение переменных с помощью способа Фурье; 
методы теории функций комплексного переменного (конформное 
отображение). При этом решены уравнения, описывающие процессы как в объеме плазмы (см. параграфы 1.1, 1.2, 1.4), так и в элементах конструкции плазменной установки (см. параграф 1.3). 
 
9

1.1. Двумерный расчет динамики двухкомпонентной плазмы  
с использованием формализма функций потока 
При описании течения плазмы в коаксиальном ускорителе в 
рамках магнитной гидродинамики часто используется двухкомпонентная бездиссипативная модель, включающая в себя систему 
МГД-уравнений совместно с уравнениями Максвелла [5]. В двумерном стационарном приближении в системе СГС она имеет следующий вид: 
 
div
0,
i
n
=
v
 
(1) 
 
div
0,
e
n
=
v
 
(2) 


∇


∇
=−
+
+







E
H
v
v
v
 
(3) 
 
(
)
[
]
1
;
,
i
i
i
i
p
M
e
n
c


∇


∇
=−
−
+







E
H
v
v
v
 
(4) 
 
(
)
[
]
1
;
,
e
e
e
e
p
m
e
n
c
 
4
rot
(
),
i
e
e n
c
=
−
H
π
v
v
 
(5) 
 
div
0,
=
H
 
(6) 
 
,
=−∇Φ
E
 
(7) 
 
(
)
div
4
.
i
e
e n
n
π
=
−
E
 
(8) 
В этих уравнениях: n, ni, ne – концентрации заряженных частиц, 
ионов и электронов соответственно; vi и ve – направленные скорости компонентов плазмы; M и m – их массы; pi и pe – парциальные 
давления компонентов; E и H – напряженности электрического и 
магнитного полей соответственно; Φ – электрический потенциал; e – 
заряд электрона; c – скорость света. 
В двумерном случае эффективным приемом, который позволяет упростить систему (1)–(8), является использование так назы 
10