Математическое моделирование и планирование эксперимента

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Н.С. Полякова, Г.С. Дерябина, Х.Р. Федорчук
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
И ПЛАНИРОВАНИЕ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Методические указания
к выполнению домашнего задания
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2010

УДК 517+519.2
ББК 22.16+22.17
П54
Рецензент А.А. Грешилов
П54
Полякова Н.С.
Математическое моделирование и планирование эксперимента : метод. указания к выполнению домашнего задания /
Н.С. Полякова, Г.С. Дерябина, Х.Р. Федорчук. – М. : Изд-во
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. – 33, [3] с.
Изложены требования к построению математических моделей. Рассмотрены свойства математических моделей, метод наименьших квадратов для однократных и повторных наблюдений, а также методика
обработки данных эксперимента.
Для студентов старших курсов.
УДК 517+519.2
ББК 22.16+22.17
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

ВВЕДЕНИЕ
Математической моделью объекта называется совокупность
математических зависимостей, описывающих его функционирование.
Реальные объекты достаточно сложны, поэтому при математическом описании их неизбежно приходится упрощать, огрублять,
пренебрегая второстепенными факторами и обращая внимание на
существенные. Успех или неудача исследователя во многом предопределяется выбором способа описания объекта, вида математической модели. «Математическая модель — это вопрос, задаваемый
исследователем природе. Он, как и всякий вопрос, содержит как
утверждающую часть — наши знания о явлении, — так и вопрошающую часть — то, что мы хотим узнать» [1].
Математические модели можно получать теоретическими и
экспериментальными методами. Модели, построенные теоретическими методами, называют аналитическими, модели, полученные
по результатам обработки экспериментальных данных, называют
эмпирическими. Но наиболее эффективно сочетание аналитических методов с экспериментальными, поскольку математическое
описание объекта, полученное аналитически, всегда содержит константы, которые определяются по результатам эксперимента.
Статистическую обработку результатов эксперимента при получении эмпирических моделей часто проводят методами регрессионного анализа. Такие эмпирические модели называют регрессионными. Рекомендациями по составлению планов и получением
математических моделей по результатам их реализации занимается
специальная дисциплина — планирование эксперимента.
В зависимости от способа представления информации различают детерминированные и вероятностные (или стохастические)
3

математические модели. Вероятностные модели содержат случайные параметры, поэтому результат расчета по ним — это либо вероятность наступления определенного события, либо статистическая
оценка некоторой случайной величины. Все регрессионные модели также являются вероятностными, поскольку для них выходной
величиной является статистическая оценка условного математического ожидания некоторого параметра.
В отличие от вероятностной детерминированная модель однозначно предсказывает значение выходной величины при заданных
значениях входных параметров.
Область основного применения вероятностных моделей — описание объектов в условиях неопределенности, т. е. при отсутствии
некоторых сведений об условиях функционирования.
Использование математической модели может быть эффективным, если она обладает следующими свойствами: полнота, точность, адекватность, устойчивость, продуктивность, наглядность.
Полнота математической модели — это ее способность отразить в достаточно полной мере те характеристики объекта, которые
интересуют исследователя.
Точность математической модели — это оценка относительной погрешности найденных с помощью математической модели
значений выходных параметров. Она дает возможность обеспечить
приемлемое совпадение реальных и найденных с помощью модели
значений выходных параметров изучаемого объекта.
Адекватность математической модели
— это ее способность дать правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик объекта, которые
важны в данном конкретном случае.
Устойчивость математической модели означает ее способность нивелировать погрешности в исходных данных, не допускать их чрезмерного влияния на результаты расчетов по модели.
Причинами низкой устойчивости могут быть деления на слишком малые по модулю величины, использование слишком быстро
растущих функций. В случае системы линейных уравнений устойчивость определяется отношением наибольшего и наименьшего
собственных чисел системы. Иногда стремление увеличить полноту математической модели приводит к снижению ее устойчивости вследствие введения дополнительных параметров, известных
4