Линейные операторы и их собственные векторы

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
И.В. Дубограй, О.В. Скуднева
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Методические указания
к выполнению типового расчета
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 512.86
ББК 22.143
Д79
Рецензент В.Г. Крапоткин
Д79
Дубограй И.В.
Линейные операторы и их собственные векторы : метод.
указания к выполнению типового расчета / И.В. Дубограй,
О.В. Скуднева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. –
30, [2] с. : ил.
Приведены основные понятия и определения по теме «Линейный
оператор». Представлен необходимый справочный материал. Рассмотрены решения типовых задач.
Для студентов первого курса МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 512.86
ББК 22.143
Учебное издание
Дубограй Ирина Валерьевна
Скуднева Оксана Валентиновна
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
Методические указания
Редактор О.М. Королева
Корректор
Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 26.06.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Изд. №109.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

§ 1. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР
Определение. Если в линейном пространстве L задан закон
e
A, по которому каждому элементу x ∈L ставится в соответствие
единственный вектор y ∈L1, то этот закон, отображающий пространство L на пространство L1, называется линейным оператором, если выполняются следующие условия:
e
A (x + y) = e
A (x) + e
A (y) ;
e
A (kx) = k e
A (x) ,
где k ∈R; x ∈L; e
A (x) = y ∈L1.
Вектор y называют образом, а вектор x — прообразом.
Линейный оператор e
A : L →L (т. е. линейное пространство
отображается на себя) называется линейным преобразованием пространства L.
Пример 1. Рассмотрим пространство V2 компланарных геометрических векторов. Действие оператора e
A заключается в повороте
этого пространства вокруг некоторой точки на угол ϕ. Выясним,
является ли этот оператор линейным.
Решение. Так как геометрические векторы свободны, отнесем
начала всех этих векторов к точке O, вокруг которой поворачивается пространство. Все векторы принадлежат теперь одной плоскости π. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора.
Если x1 и x2 — векторы пространства V2, т. е. они принадлежат плоскости π, то сумма x1 + x2 = x3 — вектор, построенный,
например, по правилу параллелограмма. При повороте пространства V2, а следовательно, и плоскости π на угол ϕ вокруг точки O
3

деформирование не происходит, поэтому взаимное расположение
образов
y1 = e
A (x1) ; y2 = e
A (x2) ; y3 = e
A (x3)
окажется таким, что y3 будет вектором, направленным по диагонали параллелограмма, построенного на векторах y1 и y2 как на
сторонах:
y1 + y2 = y3 ⇒e
A (x1 + x2) = e
A (x1) + e
A (x2) .
Вектор z = e
A (λx) = λ e
A (x) , так как вектор λx, начало которого совпадает с точкой O, без деформирования повернется вместе с
плоскостью π на угол ϕ.
Ответ: oба условия линейности выполнены, оператор e
A является линейным.
ров: x ∈V2 и y ∈V2.
Пример 2. Выясним, является ли линейным оператор e
A, определенный в пространстве V2, действие которого заключается в проектировании пространства на некоторую прямую l c направляющим вектором l ∈V2.
Решение. Проверим, выполняются ли условия линейности оператора.
Подвергнем действию данного оператора e
A сумму двух вектоПусть x + y = z ∈V2.
Проекция вектора x на прямую l — есть проекция этого вектора
на вектор l. По свойству проекций Прl (x + y) = Прl (x) + Прl (y).
Так как e
A : V2 →V1, образом e
A (x) = x1 является вектор, принадлежащий l. Длина образа |x1| = |Прl (x)|. Отсюда следует, что вектор
направляющим для прямой l.
Рассуждая аналогично изложенному выше, получим
x1 = Прl (x) ∙l 0, где l 0 = l
l
— единичный вектор, являющийся
e
A (y) = y1 = Прl (y) ∙l 0;
e
A (x + y) = Прl (x + y) ∙l 0 = (Прl (x) + Прl (y)) ∙l 0 =
4
= Прl (x) ∙l 0 + Прl (y) ∙l 0 = x1 + y1 = e
A (x) + e
A (y)