Линейные и евклидовы пространства

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
В.В. Феоктистов, Н.И. Сидняев
ЛИНЕЙНЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ
ПРОСТРАНСТВА
Методические указания
к выполнению домашнего задания
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2008

УДК 517.3+512.8
ББК 22.143+22.161.1
Ф42
Рецензент В.И. Ванько
Ф42
Феоктистов В.В., Сидняев Н.И. Линейные и евклидовы про
странства: Метод. указания к выполнению домашнего зада
ния. –М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. – 71 с.
Изложена классическая теория и рассмотрены методы линейной
алгебры с использованием векторноматричной формы записи.
Представлены матрицы, линейные преобразования, системы линей
ных уравнений, линейное пространство, линейные операторы, евк
лидово пространство и квадратичные формы. Приведены примеры.
Для студентов, изучающих методы линейной алгебры.
УДК 517.3+512.8
ББК 22.143+22.161.1

 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008

ВВЕДЕНИЕ
В линейной алгебре изучаются объекты трех родов: линейные
преобразования, пространства и алгебраические формы. Теории этих
объектов тесно связаны друг с другом. Большинство задач линейной
алгебры допускает естественную формулировку в каждой из указан)
ных трех теорий. Матричная формулировка наиболее удобна для вы)
числений. Отчетливое понимание внутренних связей между различ)
ными задачами линейной алгебры достигается лишь при рассмотре)
нии соответствующих линейных пространств, которые и являются
главным объектом изучения.
Приводятся подробные решения типичных задач по изучаемой те)
ме, демонстрирующие применение на практике результатов теории.
Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от
объема и важности темы. По каждой теме кратко излагаются конкрет)
ные вопросы, способствующие усвоению теоретического материала.
При изложении теории линейных пространств акцент делается на их
характеристиках (размерность, выбор базиса).
Каждая глава иллюстрирована примерами, поясняющими при)
менение основных теоретических результатов. В конце глав предло)
жены задачи и упражнения для самостоятельной работы.
Глава 1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
1.1. Определение и свойства линейного преобразования
Определение. Если некоторые величины y
y
ym
1
2
,
, ...,
выра)
жаются линейно и однородно через величины x
x
xn
1
2
,
, ...,
, т. е.
y
a x
a
x
a
x
...





1
11
1
12
2
1
n
n
,
y
a x
a
x
a
x
...




2
21
1
22
2
2
n
n
(1.1)



,
.....................................
y
a
x
a
x
m
m
m


1
1
2
2 




...
,
a
x
mn
n
или сокращенно
n


y
a x
i
m
i
ij
j
j


1
1 2
, (
, , ...,
) ,
3

где aij – произвольные числа, то такое преобразование величин
x
x
xn
1
2
,
, ...,
в величины y
y
ym
1
2
,
, ...,
называется линейным преоб)
разованием.
Из коэффициентов линейного преобразования (1.1) можно со)
ставить матрицу А с размерами m 
 n с матрицей коэффициентов A =
= (aij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n. То есть матрицей
	
11
12
1
n
a
a
a
a
a
a
21
22
2
n
,
A









...
...
...
...
...
...
...
a
a
a



m
m
mn
1
2
которая однозначно определяет это линейное преобразование и на)
зывается матрицей линейного преобразования [1–3]. Если ввести
еще матрицы)столбцы
x
y
	
	
1
1
x
y
2
X
Y


2
...
...
и
,
















x






y
n
m
то линейное преобразование можно записать в матричной форме:
Y = АХ,
(1.2)
где АХ – произведение матрицы А на матрицу)столбец Х.
В качестве примера можно привести формулы преобразования
координат точки М(х1, х2) плоскости OXY при повороте системы де)
картовых координат на угол α. Как известно [4], координаты (y1, y2)
точки М в новой системе координат выражаются через координаты
(х1, х2) в первоначальной системе координат в виде
y
x
x
1
1
2


cos
sin

 ,
y
x
x
2
1
2
 

sin
cos

.
Таким образом, преобразование координат точек плоскости при
повороте осей на угол α является линейным преобразованием, мат)
рица которого


sin
cos


.
A 

	





cos
sin
4

Это линейное преобразование в матричной форме имеет вид
1
1
y
y
x
x
	




 

	




 	





cos
sin
sin
cos




.
2
2
Линейные преобразования обладают двумя основными свойства)
ми, которые следуют из соответствующих свойств матриц:
А(Х1 + Х2)
АХ1 + АХ2;
А( Х)
(АХ).
1.2. Операции над линейными преобразованиями
Сложение преобразований. Рассмотрим два линейных преобра)
зования величин х1, х2, ..., хn в величины y1, y2, ..., ym и z1, z2, ..., zm , т. е.
n
n



y
a x
z
b x
i
m
i
ij
j
i
j
ij
j
j
1
1
1 2
,




,
,
, , ...,
или в матричной форме Y
AX, Z
BX, где
x
y
z
	
	
	
1
1
1
x
y
z
2
X
Y
Z
A
a
B
b





ij
ij
2
...
,
...
,
2
...
,
(
),
(
),
























x
y
z









n
m
m
i
m
j
n


1 2
1 2
, , ...,
;
, , ...,
.
Тогда суммой линейных преобразований называется преобразование
величин х1, х2, ..., хn в величины u1, u2, ..., um , определяемое соотноше)
ниями
n





u
y
z
a
b
x
i
m
i
i
i
ij
ij
j
j
1
.

(
)
,
, , ...,
1 2
Полученное преобразование также является линейным, а его матри)
ца имеет вид
C = (сij) = (aij + bij) = (aij) + (bij) = A + B, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
5

Умножение преобразования на число
. Наряду с линейным
n


преобразованием y
a x
i
m
i
ij
j
j
1
1 2
, или в матричной фор)


;
, , ...,
n


ме Y
AX, рассмотрим преобразование z
a x
i
i
ij
j
j
1
1 2
, ,...,m.

 
;
Это преобразование называется произведением первоначального
преобразования на число λ. Оно является линейным, а его матрица
имеет вид
B = ( bij) = ( aij) =  A, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.
Произведение преобразований. Рассмотрим линейное преобра)
зование величин х1, х2, ..., хn в величины y1, y2, ..., yp и последующее
линейное преобразование y1, y2, ..., yp в величины z1, z2, ..., zm , т. е.
n


y
a x
k
p
k
kj
j
j
1
,
(1.3)


;
, , ...,
1 2
p


1
,
(1.4)
z
b
y
i
m
i
ik
k
k


;
, , ...,
1 2
или в матричной форме Y
AX, Z
BY.
Посмотрим теперь, как выражаются величины z1, z2, ..., zm через ве)
личины х1, х2, ..., хn. Для этого подставим yk из выражения (1.3) в вы)
ражение (1.4). Используя матричную форму записи линейного преоб)
разования, получим Z
BY
B(AX)
(BA)X
CX.
Отсюда видно, что преобразование переменных xi в переменные
zi является линейным и имеет матрицу С
BA. В развернутом виде
это преобразование можно записать так [1]:
n
p
n

.
(1.5)
z
c x
b
a
x
i
m
i
ij
j
ik
kj
k
j


	
j
j





1
1
1
1 2
;
, , ...,








Преобразование (1.5) называется произведением преобразова)
ния (1.4) на преобразование (1.3). Фактически именно эта особен)
ность последовательного применения двух линейных преобразова)
ний лежит в основе данного в разд. 1.1 определения произведения
матриц [3–5].
6

Обратное преобразование. Пусть Y
AX, где A – квадратная
невырожденная матрица (определитель матрицы не равен нулю).
Тогда можно однозначно выразить переменные х1, х2, ..., хn через
y1, y2, ..., yn . Из формулы (1.3) получаем X = A–1Y, A–1 – обратная
матрица. Это преобразование является линейным, оно называется
обратным преобразованием для преобразования (1.3). Матрица об!
ратного преобразования является обратной для матрицы А. Отсюда
следует, что однозначное обратное преобразование существует толь!
ко тогда, когда матрица А невырожденная. В этом случае и само пре!
образование называется невырожденным.
Глава 2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2.1. Числовое поле. Аксиомы линейного пространства
Определение. Числовым полем K называется множество чисел
,
,
, …, если для любых
и
из множества K числа
+
,
–
,
,
(в последнем случае
≠0) также принадлежат этому множеству.
Например, множество чисел вида a
b


2, где а и b – любые рацио!
нальные числа, образуeт поле. Действительно, для любой пары чисел
α = a
b


2 и β = c
d


2 получим








(
)
(
)
,
a
с
b
d
2
 






(
)
(
)
,
aс
bd
ad
bc
2
2









ac
bd
c
d
bc
ad
c
d
2
2
2
2
2
2
2
2
,
т. е. числа того же вида.
Очевидно, что множество чисел того же вида a
b


2, где а и b –
целые числа, полe не образуeт [5]. Легко показать, что множества ра!
циональных, вещественных и комплексных чисел образуют число!
вые поля.
Определение линейного пространства. Линейным пространст!
вом над числовым полем K называется множество L элементов, кото!
рые будем называть векторами и обозначать x y z
, , , ... если:
7

1) указан закон, согласно которому любой паре векторов x L и
y L однозначно ставится в соответствие вектор z L. Вектор z на)
зывается суммой векторов x и y, обозначается z
x
y


;
2) указан закон, согласно которому каждому числу λ из поля K и
любому вектору x ∈L однозначно ставится в соответствие вектор z ∈
L. Вектор z называется произведением вектора x на число λ и обо)
значается z
x
 
( или z
x

);
3) введенные в пп. 1) и 2) операции сложения векторов и умно)
жения вектора на число удовлетворяют следующим аксиомам:
а) x
y
y
x



;
б) (
)
(
)
x
y
z
x
y
z





для любых x y
z
,
и
из L;
в) существует элемент  ∈L ( – нулевой вектор), такой, что
x
x



для любого вектора x ∈L;
г) для каждого вектора x ∈L существует такой вектор y ∈L, что
x + y = ; вектор y называется противоположным вектору x и обо)
значается –x;
д) 1 ⋅x = x для любого вектора x ∈L;
е)  x) = () x для любого вектора x ∈L и любых чисел
и
из K;
ж) ( + ) x =  x +  x для любого вектора x ∈L и любых чисел
и
из K;
з) (x + y) =  x +  y для любых векторов x и y из L и любого
числа
из K.
Из этих аксиом вытекает следующее.
1. В линейном пространстве существует единственный нулевой
вектор.
2. В линейном пространстве каждый вектор имеет единственный
противоположный вектор.
3.  Для любого элемента x ∈L имеет место равенство  x = .
4. Для любого вектора x ∈L противоположный вектор равен
–x = (–1)x.
Существование противоположного вектора определяет возмож)
ность введения для векторов линейного пространства операции
вычитания как операции, обратной операции сложения: x – y = x +
+ (–1)y = x + (–y).
8