Интегральные преобразования и операционное исчисление

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.И. Лошкарев, Т.В. Облакова
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Методические указания
к выполнению домашнего задания
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007

УДК 517.3
ББК 22.161
Л81
Рецензент Л.Д. Покровский
Л81
Лошкарев А.И., Облакова Т.В.
Интегральные преобразования и операционное исчисление:
Метод. указания к выполнению домашнего задания. – М.: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 74 с.: ил.
Представлен справочный теоретический материал, решенные задачи и примеры, условия вариантов типового расчета
по интегральным преобразованиям и операционному исчислению. Типовой расчет содержит задачи по темам: нахождение
изображений и оригиналов, задачи Коши для линейного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами, задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Для студентов 2–4-го курса машиностроительных специальностей.
Ил. 18. Библиогр. 9 наим.
УДК 517.3
ББК 22.161
Методическое издание
Анатолий Иванович Лошкарев
Татьяна Васильевна Облакова
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Редактор С.А. Серебрякова
Корректор Л.И. Малютина
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 15.01.2006. Формат 60×84/16.
Бумага офсетная.
Печ. л. 4,5. Усл. печ. л. 4,19. Уч.-изд. л. 3,85. Тираж 1000 экз. Изд. №134.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007

ВВЕДЕНИЕ
В различных приложениях большое значение имеют интегральные преобразования, т. е. функциональные преобразования вида
K(p, t)f(t)dt,
(B.1)
F(p) =
Z
C
где C — некоторый заданный контур (конечный или бесконечный)
в комплексной плоскости; K(p, t) — заданная функция двух комплексных переменных (ядро интегрального преобразования). При
этом функция f(t), называемая оригиналом, переводится в функцию F(p), называемую изображением.
В качестве дискретного аналога преобразования (B.1) можно
рассматривать, например, ряд Фурье по заданной системе функций
{ϕ(x, k)}k=∞
k=−∞:
Φ(x) =
k=−∞
fkϕ(x, k).
k=∞
X
При этом последовательность (функция целого аргумента) fk =
= f(k) переводится в функцию Φ(x).
Прикладное значение интегральных преобразований, при которых изучаемые функции (оригиналы) заменяются другими функциями (изображениями), можно сравнить с логарифмированием в
вычислительной практике. Действительно, при логарифмировании:
1) от чисел переходят к логарифмам; 2) над логарифмами выполняют действия, соответствующие действиям над числами, причем
умножению чисел соответствует более простая операция сложения
3

их логарифмов и т. д.; 3) от найденного логарифма вновь возвращаются к числу.
Использование интегральных преобразований позволяет свести, например, решение дифференциального уравнения к решению
алгебраического уравнения для изображений, после чего остается
восстановить решение-оригинал по решению-изображению. Последний этап обычно осуществляется с использованием обширных
таблиц типа «оригинал — изображение».
В этом пособии мы рассмотрим наиболее употребительные преобразования вида (B.1) — преобразование Фурье и (одностороннее) преобразование Лапласа, на основе которых строится операционное исчисление. О других видах интегральных преобразований
можно прочесть в [1 — 3].

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1.1. Ряд Фурье и интегральная формула Фурье
Как известно, если задан интервал разложения −T
2 < t < T
2 , то
ряд Фурье, порожденный действительной функцией f(t), для которой существует интеграл
|f(t)|dt, есть бесконечный тригономеT
2
Z
−T
2
трический ряд
1
2a0 +
k=1
(ak cos kω0t + bk sin kω0t) ≡
k=−∞
ckeikω0t,
(1.
.1)
k=∞
X
k=∞
X
где
ω0 = 2π
T ,
f(τ) cos(kω0τ)dτ,
k = 0, 1, . . . ,
ak = 2
T
T
2
Z
−T
2
(1.
.2)
f(τ) sin(kω0τ)dτ,
k = 1, 2, . . . ,
bk = 2
T
T
2
Z
−T
2
5

f(τ)e−ikω0τdτ
(1.
.3)
ck = c−k = 1
2 (ak −ibk) = 1
T
T
2
Z
−T
2
(черта сверху, как обычно, означает комплексно-сопряженное
число).
Также известно, что если f(t) — функция с ограниченным
изменением (вариацией1), то ее ряд Фурье сходится к значению
1
2 {f(t + 0) + f(t −0)}. Причем если во всех точках некоторого
интервала f(t) непрерывна, то ее ряд сходится к ней самой (равномерно на этом интервале). Подставив в (1.1) выражения для ak и bk
из (1.2), получим
f(τ)dτ +
f(t)= 1
T
2
T
"
k=1

cos
2πkt
T

dτ +
f(τ) cos
2πkτ
T
T
2
Z
T
2
Z
∞
X
−T
2
−T
2
=
+ 2
T
#
f(τ) sin
2πkτ
T

sin
2πkt
T

dτ
T
2
Z
−T
2
f(τ)dτ +
= 1
T
2
T
f(τ) cos 2πk
T
(t −τ) dτ.
k=1
T
2
Z
T
2
Z
∞
X
−T
2
−T
2
i=1
|f(xi) −f(xi−1)|,
1Вариацией (полной вариацией) функции называют sup
n
P

на конечное число частей.
вычисленный по всем разбиениям −T
2 = x0 < x1 < . . . < xn = T
2 отрезка

−T
2 , T
2
Вариацию функции на отрезке [a, b] обозначают символом
b
V
a f
или
b
Z
a
|d
f(x)|. В частности, если функция f(x) имеет непрерывную производную, то
b
Z
b
Z
a
|d
f(x)| =
a
f ′(x)
dx.
6

Если положить 2πk
T
= ω, 2π
T = Δω и перейти формально к пределу при T →∞, то сумма превратится в интеграл, и мы получим
интегральную формулу Фурье:
dω
f(t) = 1
π
∞
Z
∞
Z
0
−∞
f(τ) cos ω (t −τ) dτ ≡
≡1
2π
∞
Z
∞
Z
−∞
dω
−∞
f(τ) cos ω (t −τ) dτ,
будем иметь представление
поскольку подынтегральная функция — четная по переменной ω.
З а м е ч а н и е. Совершая предельный переход T →∞в указанных выражениях, мы фактически полагаем, что внешний несобственный интеграл понимается в смысле существования его главного значения2, т. е. в симметричном стремлении к бесконечности
абсолютной величины верхнего и нижнего пределов интегрирования.
Подставив в (1.1) выражение (1.3) для ck, на отрезке
h
−T
2 ; T
2
i
f(t) =
eiωt =
f(τ)e−iωτdτ
1
T
 
!
T
2
Z
k=−∞
∞
X
−T
2
f(τ)e−iωτdτ
= 1
2π
!
2π
T .
 
T
2
Z
k=−∞
∞
X
−T
2
Как и раньше, переходя к пределу при T →∞, получим
eiωtdω.
f(t) = 1
2π
!
∞
Z
 
∞
Z
−∞
−∞
f(τ)e−iωtdτ
2В ряде случаев даже расходящимся несобственным интегралам можно приписать определенное значение. Если существует предел
lim
N→∞
−N
f(t)dt = A,
+N
R
то его называют главным значением несобственного интеграла и обозначают
N
V.p
t
t2+1dt = lim
N→∞
−∞
f(t)dt. Например, V.p
−∞
−N
= 0.
+∞
R
+∞
R
1
2 ln(t2 + 1)
7

Обозначим в этом выражении через
ˆ
f(ω) =
∞
Z
−∞
f(τ)e−iωτdτ.
(1.
.4)
Тогда
ˆ
f(ω)eiωtdω.
(1.
.5)
f(t) = 1
2π
∞
Z
−∞
Cоотношения (1.4) и (1.5) определяют так называемую пару преобразований Фурье, где (1.4) называется прямым преобразованием
Фурье, а (1.5) — обратным преобразованием Фурье.
З а м е ч а н и е. Функцию ˆ
f(ω) также часто обозначают S(ω)
и называют спектральной плотностью или спектральной характеристикой сигнала f(t). Тогда равенство (1.4) интерпретируют как
спектральное разложение f(t).
Вообще говоря, S(ω) — комплексная функция, поэтому для ее
изображения требуются две функции: S(ω) = |S(ω)| ei arg S(ω) =
= ρ(ω)e−iΦ(ω), где ρ(ω) = |S(ω)| называется амплитудным спектром, а Φ(ω) = −arg S(ω) — фазовым спектром [4].
1.2. Некоторые свойства преобразования Фурье
1. Теорема запаздывания. Если ˆ
f(ω) — преобразование Фурье
функции f(t), то преобразованием Фурье функции f(t −τ) будет
произведение e−iωτ ˆ
f(ω).
Утверждение этой теоремы следует из очевидного равенства
∞
Z
∞
Z
−∞
f(t −τ)e−iωtdt =
−∞
f(u)e−iω(u+τ)du =
= e−iωτ
∞
Z
−∞
f(u)e−iωudu = e−iωτ ˆ
f(ω).
2. Теорема смещения. Если ˆ
f(ω) — преобразование Фурье
функции f(t), то преобразованием Фурье произведения e−iηtf(t)
будет функция ˆ
f(ω + η).
8