Избранные принципы аналитической механики. Уравнения Лагранжа второго рода

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
В.В. Витушкин, Г.М. Максимов
ИЗБРАННЫЕ ПРИНЦИПЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ.
УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
ВТОРОГО РОДА
Под редакцией В.В. Дубинина
Методические указания к выполнению курсового задания
по дисциплине «Теоретическая механика»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 521.3
ББК 22.213
В54
Рецензент А.В. Копаев
В54
Витушкин В.В.
Избранные принципы аналитической механики. Уравнения
Лагранжа второго рода : метод. указания / В.В. Витушкин,
Г.М. Максимов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. –
69, [3] с. : ил.
Методические указания предназначены для студентов, выполняющих курсовое задание по теме «Избранные принципы аналитической
механики. Уравнения Лагранжа второго рода». В этой работе при
решении задач механики требуется применение основных дифференциальных принципов аналитической механики: принципа Даламбера,
принципа возможных перемещений, общего уравнения динамики и
уравнений Лагранжа второго рода. В методических указаниях содержатся краткие сведения из теории, условия 36 вариантов курсового
задания и пример его выполнения.
Для студентов машиностроительных и приборостроительных специальностей, изучающих раздел «Аналитическая механика» дисциплины «Теоретическая механика».
Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета ФН
МГТУ им. Н.Э. Баумана.
УДК 521.3
ББК 22.213
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ВВЕДЕНИЕ
В курсовом задании по теме «Избранные принципы аналитической механики. Уравнения Лагранжа второго рода» при решении
задач механики требуется применение основных принципов аналитической механики: принципа Даламбера, принципа возможных
перемещений (принцип Лагранжа), общего уравнения динамики
(принцип Даламбера — Лагранжа) и уравнений Лагранжа второго
рода.
Основная часть курсового задания для всех студентов, изучающих раздел «Аналитическая механика» дисциплины «Теоретическая механика», строится на обязательном применении уравнений
Лагранжа второго рода при составлении дифференциальных уравнений движения механической системы с двумя степенями свободы. При этом во всех вариантах курсового задания (на схемах
механических систем) указываются предпочтительные обобщенные координаты.
В каждом варианте курсового задания рассматривается движение механической системы либо в инерциальной системе отсчета
(ИСО), либо в неинерциальной (НИСО) под воздействием активных сил (или пар сил), причем одна из этих сил (или пары сил)
является функцией времени с некоторым начальным значением.
Эта начальная сила (или пара сил) совместно с другими силами,
постоянными по величине и по направлению, обеспечивает удержание системы в покое в ИСО.
В дополнение к основной части задания требуется выполнить
следующее:
• определить c помощью принципа возможных перемещений
начальные значения отдельных сил (или моментов пар сил), которые до начала движения удерживали систему в покое в ИСО;
3

• для момента начала движения (t0 = 0), используя полученную с помощью уравнений Лагранжа второго рода систему дифференциальных уравнений движения, определить обобщенные ускорения, а также ускорение отдельной точки системы или угловое
ускорение звена, указанные в индивидуальном описании задания;
• для этого же момента времени (t0 = 0) в ИСО с помощью
принципа Даламбера или общего уравнения динамики рассчитать
силы взаимодействия тел системы в отдельных указанных в задании соединениях.
Отметим, что выполнение курсового задания может проводиться как в данной выше последовательности, так и в другом порядке:
сначала определяются начальные значения сил (или моментов пар
сил), удерживающих систему в покое; затем составляются дифференциальные уравнения движения системы при изменении одной
из указанных сил (или пары сил) и для начального момента ее
движения (для момента времени t = 0) по этим уравнениям определяются соответствующие ускорения и рассчитываются силы взаимодействия тел в системе. Такой подход к порядку выполнения
курсового задания, а также примеры решения вариантов в целом
и их отдельных этапов приведены в работах [1—3].
В методических указаниях содержатся принимаемые упрощающие допущения, общие и индивидуальные условия и краткое изложение теоретических основ выполнения задания, а также примеры
его выполнения.

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1.1. Общие условия и допущения курсового задания
Во всех вариантах курсового задания, если нет особых указаний в их индивидуальном описании, следует пренебречь:
• массами деформируемых тел (нити, пружины);
• трением в контактах со скольжением (шарниры, поверхности
тел, прямолинейные направляющие).
При этом принимаются следующие общие условия задания:
• ступени составных тел вращения (катка, блока и т. п.) соосны;
• несоставные тела вращения — тонкие диски;
• распределение масс стержней и дисков однородно;
• центры масс тел вращения лежат на их осях симметрии;
• r, R — малый и большой радиусы цилиндров составного тела
вращения; ρ — радиус инерции относительно оси вращения тела;
• опорные плоскости плит и реек параллельны друг другу;
• углами α и β на рисунках задаются наклоны стержней к
вертикали и наклоны опорных плоскостей к плоскости горизонта,
остальные плоскости считаются горизонтальными или вертикальными;
• нет скольжения в контактах тел вращения;
• нити параллельны соответствующим прямолинейным опорным направляющим или вертикальны, нерастяжимы и не проскальзывают по поверхностям тел вращения;
• силы растяжения (сжатия) пружин пропорциональны их деформациям;
• внешние силы, силы растяжения (сжатия) пружин и силы
натяжения нитей параллельны опорным направляющим или перпендикулярны поверхности воздействия;
5

• вектор момента
¯
M(t) пары сил (если таковая оговорена в
задаче), приложенной к валу, параллелен оси вращения этого вала;
• нижние индексы в обозначениях конструктивных параметров
(масс mk, радиусов rk, Rk, длин Lk, радиусов инерции ρk) соответствуют номерам тел;
• значения исходных конструктивных параметров выражены
через базисные единицы: масса m = 10 кг; длина L = 0, 1 м; сила
F = 100 Н;
• жесткости c пружин растяжения-сжатия и спиральных пружин в условиях задач одинаковы для всех вариантов и соответственно равны c = 100F /L Н/м; c = 10FL Н·м/рад (здесь F и
L — указанные выше базисные единицы);
• в тех вариантах задач, где учитывается сосредоточенная сила аэродинамического сопротивления, предполагается, что R —
модуль такой силы — пропорционален квадрату абсолютной
скорости v заданной точки относительно воздуха: R = μv2,
μ = const = 0, 02m/L кг/м.
В курсовом задании рассматриваются два интервала времени
движения:
1) вначале, до момента
времени t = 0, пружины недеформированы (если их начальная деформация не оговорена особо в
условиях индивидуального варианта задания), а система тел (в зависимости от варианта задания):
• либо удерживается в покое относительно ИСО в положении,
изображенном на кинематической схеме, с помощью (в общем случае двух) постоянных сил (или силы и пары сил), значения которых
не известны: F = const = F0, S = const = S0 (или F = const = F0,
M = const = M0);
• либо находится в покое в положении, изображенном на кинематической схеме, при равенстве нулю пары сил, вызывающей
движение в НИСО;
2) затем начиная с момента времени t = 0 система тел движется
вследствие изменения силы ¯
F(t) или пары сил ¯
M(t) по заданному
в индивидуальных условиях задачи закону, в котором p = 1 рад/с —
частота изменение силы или пары сил.
На некотором конечном отрезке времени 0−tk характер оговоренных физических условий движения не изменяется. Изучаемая
6

механическая система принадлежит к числу голономных систем с
двумя степенями свободы, с идеальными связями.
1.2. Основные этапы выполнения курсового задания
1. Для системы тел, изображенной на кинематической схеме варианта курсового задания, следует на основе уравнений Лагранжа
второго рода составить два дифференциальных уравнения движения механической системы, используя две заданные обобщенные
координаты q1, q2.
В следующем разделе курсового задания необходимо выполнить следующее.
2. Рассчитать значения S0, F0, M0 с помощью принципа Лагранжа.
3. Обращаясь с полученной системой дифференциальных уравнений как с линейной относительно ускорений алгебраической системой уравнений, рассчитать значения обобщенных ускорений ¨
q1,
¨
q2 для момента начала движения (t = 0). Применить найденные
значения ¨
q1, ¨
q2 для расчета указанных в индивидуальном условии курсового задания ускорений точек и угловых ускорений тел
(¯
ak, ¯
εk). С помощью принципа Даламбера или общего уравнения
механики рассчитать силы динамического взаимодействия тел в
местах, указанных в задании.
Для начального момента времени известны значения обобщенных координат и обобщенных скоростей, поэтому дифференциальные уравнения можно рассматривать как систему, состоящую из
двух алгебраических уравнений относительно обобщенных ускорений ¨
q1, ¨
q2.

2. ИНДИВИДУ
АЛЬНЫЕ ВАРИАНТЫ КУРСОВОГО
ЗАДАНИЯ
Вариант 1. Груз 1, блок 2, ступенчатый каток 3, плита 4, пружина 5 и нить 6 образуют плоский механизм, все точки которого
могут двигаться в вертикальных плоскостях (см. рис. 1∗);
m1 = 10m; m2 = 0; m3 = m4 = 4m; α = 30◦; β = 60◦;
r3 = ρ3 = L; R3 = 2L.
До момента времени t = 0 механизм удерживался в покое
силами ¯
F = ¯
F0, ¯
S0. Сила ¯
F постоянно направлена по касательной к поверхности катка и перпендикулярно оси x. Начиная с
момента времени t = 0 величина силы ¯
F изменяется по закону
F = 2F0 (1 + sin pt), а сила ¯
S0 не изменяется.
Требуется:
1) составить дифференциальные уравнения движения системы;
2) рассчитать значения сил F0, S0;
3) для момента начала движения (t = 0) найти вектор ускорения точки B катка, вектор силы трения, приложенной к катку со
стороны плиты, и реакцию нити 6 на участке от груза 1 до блока 2.
Вариант 2. Ступенчатый каток 1, блоки 2, 3, пружина 4 и нить 5
образуют плоский механизм, все точки которого могут двигаться
в вертикальных плоскостях (cм. рис. 2);
α = 30◦; m1 = 10m; m2 = 0; m3 = 4m;
r1 = ρ1 = r3 = L; R1 = 2L.
До момента времени t = 0 механизм удерживался в покое вертикальными силами ¯
F = ¯
F0, ¯
S0, а сила натяжения пружины была
равна F 0
пр = 4F . Сила ¯
F постоянно направлена по касательной
к поверхности катка, а сила ¯
S0 — по касательной к поверхности
блока 3. Начиная с момента времени t = 0 величина силы ¯
F изменяется по закону F = 2F0 (1 + sin pt), а сила ¯
S0 не изменяется.
Требуется:
1) составить дифференциальные уравнения движения системы;
∗Рис. 1 — 36 cм. на с. 25 — 33.
8