Задачи на экстремум функции многих переменных

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана
В.С. Попов
ЗАДА
ЧИ НА ЭКСТРЕМУМ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Методические указания к решению задач
и подготовке к зачету
по курсу «Высшая математика»
Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2010

УДК 517.5
ББК 22.161.5
П57
Рецензент А.Ф. Грибов
П57
Попов В.С.
Задачи на экстремум функции многих переменных : метод. указания к решению задач и подготовке к зачету по курсу «Высшая математика» / В.С. Попов. – М. : Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2010. – 30, [2] с. : ил.
Рассмотрены методы решения задач на экстремум (локальный,
условный) функции многих переменных и нахождения наибольших
и наименьших значений таких функций. В каждом разделе приведены краткие теоретические сведения и формулы, необходимые для
решения задач.
Для
студентов
первого
курса
всех
специальностей
МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
Методические указания рекомендованы учебно-методической комиссией НУК ФН.
УДК 517.5
ББК 22.161.5
Учебное издание
Попов Владимир Семенович
ЗАДА
ЧИ НА ЭКСТРЕМУМ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Редактор Е.К. Кошелева
Корректор
Е.В. Авалова
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Подписано в печать 18.10.2010. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 1,86. Тираж 600 экз. Изд. №4.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ
Методические указания предназначены для студентов первого курса МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих дифференциальное
исчисление функций многих переменных (ФМП).
Цель пособия — помочь студенту понять и освоить методы,
связанные с решением задач на экстремум ФМП, а также методы
нахождения наименьших и наибольших значений таких функций.
Пособие состоит из трех разделов: локальный экстремум;
условный экстремум; наибольшие и наименьшие значения ФМП.
В каждом разделе даны краткие теоретические сведения и приведены формулы, необходимые для решения задач. Подробно
разобраны задачи, разъяснены методы их решения. Большинство
решенных задач можно отнести к типовым; ознакомление с ними
позволит студенту при минимальной помощи со стороны преподавателя овладеть основными методами решения задач на экстремум
ФМП.

1. ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.1. Основные сведения из теории
Этот раздел посвящен важной в практическом отношении задаче отыскания точек локального экстремума дифференцируемой
скалярной функции.
Определение. Скалярная функция многих переменных
f:
Rn →R, определенная в некоторой окрестности точки а ∈Rn,
имеет в этой точке локальный максимум (минимум), если существует такая проколотая окрестность
◦
U(а, ε) точки а, что
для любой точки x ∈
◦
U(а, ε) выполнено неравенство f(x) ⩽f(а)
(f(x) ⩾f(а)).
О точке а говорят как о точке локального экстремума, а о числе
f(а) — как о значении локального экстремума.
Практически более удобно использовать эквивалентное определение локального максимума (минимума) в терминах приращений аргумента и функции: если приращение функции Δf = f(а +
+ Δx)−f(а) отрицательно (положительно) при всевозможных достаточно малых по абсолютной величине как положительных, так
и отрицательных значениях Δx, то функция f имеет максимум
(минимум) в точке а.
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом.
Необходимое условие локального экстремума
Пусть скалярная функция f: Rn →R имеет в некоторой точке
а ∈Rn локальный экстремум. Eсли в этой точке функция f(x)
(x = (x1, x2, . . . , xn)) имеет частные производные первого порядка
по всем переменным, то все эти частные производные равны нулю
4