Дополнительные вопросы курса теории вероятностей

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана
О. В. Михайлова, Т. В. Облакова, Д. А. Приказчиков
Дополнительные вопросы
курса теории вероятностей
Методические указания
к выполнению домашнего задания
Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2011

УДК 519.92
ББК 22.171
М69
Михайлова О. В.
М69
Дополнительные вопросы курса теории вероятностей : методические указания к выполнению домашнего задания / О. В. Михайлова, Т. В. Облакова, Д. А. Приказчиков. — М. : Изд-во МГТУ
им. Н. Э. Баумана, 2011. — 73, [3] с. : ил.
Кратко изложены основные определения и теоремы курса теории вероятностей. Подробно рассмотрены многомерные распределения, в том числе
нормальный закон и его свойства. Изложены примеры на вычисление плотности вероятностей функции от случайной величины (случайного вектора),
включая нахождение композиции законов распределения. Приведено 30 вариантов типового расчета.
Для студентов II и III курсов машиностроительных и приборостроительных специальностей, изучающих теорию вероятностей.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК «ФН» МГТУ
им. Н. Э. Баумана.
УДК 519.92
ББК 22.171
c
⃝МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011

1. Общие вопросы
§ 1. Вероятностная модель
i
Ai ∈A.
i
Ai либо
Вероятностной моделью, или вероятностным пространством,
называют совокупность трех объектов (Ω, A, P).
I. Множество (пространство) элементарных событий Ω— совокупность элементов
w, представляющих собой элементарные исходы опыта (элементарные события).
Пример 1:
1) при однократном подбрасывании игральной кости элементарным исходом считают выпадение на верхней грани определенного
числа очков;
2) при работе датчика случайных чисел элементарный исход —
выпавшее число;
3) контролер готовой продукции измеряет некоторые параметры
изделия, при этом результат (совокупность нескольких чисел) также
можно считать элементарным исходом.
II. Совокупность подмножеств A множества Ωудовлетворяет
ряду условий. Элементы A называют событиями и обозначают
большими латинскими буквами. Таким образом, события — это множества, и с ними можно проводить обычные действия, такие, как
пересечение, объединение, дополнение и др. Это накладывает на совокупность подмножеств A дополнительные условия, которые превращают его в объект, называемый
 -алгеброй событий. Приведем
эти условия:
1) ∅∈A, Ω∈A (пустое множество ∅, или невозможное событие, должно принадлежать A, все множество Ω, или достоверное
событие, также должно принадлежать A);
2) A ∈A ⇒A ∈A (наряду с A его дополнение A = Ω\ A, или
противоположное событие, также должно быть элементом A);
3) если Ai ∈A, n = 1, 2, ..., то S
i
Ai ∈A и T
i
Ai или
Пересечение конечного или счетного числа множеств T
i
Ai должны быть элементами A.
произведение событий Q
i
Ai, а также их объединение S
3
сумма событий P

Приведем еще несколько определений:
1) если
w ∈A, то говорят, что элементарный исход
w благоприятствует событию A;
2) A и B называются несовместными событиями, если A ∩B =
= ∅;
3) определим разность событий A и B как разность соответствующих множеств A \ B ≡A ∩B; согласно условиям 2 и 3 разность событий является событием;
4) говорят также, что событие A влечет событие B (наступление события A влечет наступление события B), если A ⊆B.
В случае конечного вероятностного пространства в качестве
алгебры событий A обычно рассматривают систему всех подмножеств множества Ω.
Если же Ωсовпадает с множеством всех действительных чисел
или его подмножеством, то рассматривают так называемую борелевскую
 -алгебру, порожденную полуинтервалами вида (−∞, a)
с помощью операций их конечного и бесконечного пересечения
и объединения. Эта
 -алгебра включает все виды интервалов и полуинтервалов, отдельные точки и другие «обычные» множества.
III. Функция множества P, определенная на A, т. е. ставящая
в соответствие каждому A ∈A действительное число P(A), называемое вероятностью события A. Эта функция должна удовлетворять аксиомам Колмогорова:
1) ∀A ∈A
P(A) ⩾0 — аксиома
неотрицательности
вероятности;
2) P(Ω) = 1 — аксиома нормировки;
3) P
P
i
Ai

= P
i
P(Ai), если AiAj = ∅— аксиома
 -аддитивности.
Из аксиом легко устанавливаются следующие свойства вероятности:
1) если A ⊆B, то P(B \ A) = P(B) −P(A);
2) если A ⊆B, то P(A) ⩽P(B) (свойство монотонности);
3) ∀A ∈A
0 ⩽P(A) ⩽1;
4) ∀A ∈A
P(A) = 1 −P(A);
5) ∀A,B∈A
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB) (теорема
сложения);
4

6) если B1⊇B2⊇B3⊇... так, что Q
i
Bi=∅, то lim
n→∞P(Bn)=0
(свойство непрерывности).
Ниже приведены примеры вероятностных моделей.
К ла с с и ч е с ка я
ве роя т н о с т н а я
м од е л ь.
Множество
элементарных исходов Ωконечно, и все исходы считаются равновероятными, т. е. каждому элементарному исходу приписывается
вероятность 1
n , где n = |Ω|. При этом A содержит все подмножества Ω. Тогда
wi∈A
P(
wi) = 1
n |A| = |A|
|Ω|
P(A) =
X
и получаем классическое определение вероятности как отношения
мощностей множеств A и Ω, или числа благоприятных исходов
к общему числу исходов.
Пример 2. Рассмотрим опыт, заключающийся в двукратном
подбрасывании игральной кости. Если кость правильная, т. е. грани
выпадают одинаково часто, то пары (i, j), где i — число очков, выпавшее в первый раз, а j — число очков, выпавшее во второй раз,
можно считать равновозможными. Число таких пар составляет 36,
так что вероятность каждого элементарного исхода будет 1
36.
Вычислим вероятность события
A = {сумма выпавших очков меньше 6}.
Для этого перечислим все исходы, благоприятствующие этому событию: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2),
(4, 1). Тогда, согласно классическому определению вероятности,
36 = 5
18.
P(A) = |A|
|Ω| = 10
Ге ом е т ри ч ес к и е ве роя т н о с т и.
Пусть Ω— какая-либо
геометрическая фигура, имеющая меру, т. е. длину, площадь или
объем. В качестве A выступает совокупность измеримых подмножеств Ω. Вероятностью события A ∈A в этой модели полагают
отношение мер множеств A и Ω, т. е. P(A) def
=
= mes A
mes Ω.
5

Пример 3 (игла Бюффона). На плоскость, разлинованную прямыми, параллельными оси Ox и отстоящими одна от другой на расстоянии L, наудачу бросается игла длиной l (l < L) (рис. 1). С какой
вероятностью игла пересечет какую-либо линию?
Рис. 1
Решение. Пусть p — расстояние от центра иглы до ближайшей
2
прямой, а
a — угол между иглой и прямыми. Тогда p ∈
h
0, L
p
2
i
,
а
a ∈
h
0,
i
, причем считаем, что все эти значения равновозможны.
Множеством элементарных исходов Ωздесь будет прямоугольник,
изображенный на рис. 2. Выделим теперь благоприятные исходы A, т. е. такие значения p и
a, при которых игла пересечет одну
из прямых.
Рис. 2
Это произойдет, если l
2 sin
a ⩾p (см. заштрихованное множество на рис. 2). Тогда искомая вероятность равна отношению плоl
щадей, т. е. P(A) = 4
p
2
]
pL
2 sin
a d
a = 2l
pL.
0
6

Пример 4. Три раза запускается датчик случайных чисел, выбирающий числа из интервала [0, 1]. Результатом этого опыта (элементарным исходом) можно считать тройку чисел (x, y, z) — точку
в кубе со стороной 1. Вероятность выбора точки из какой-либо
части куба, очевидно, пропорциональна объему этой части. Поэтому применяем модель геометрических вероятностей. Рассмотрим
события A = {z < x + y} и B = {x > y > z} и вычислим их вероятности (на рис. 3 и 4 изображены соответствующие части куба). Так
как mes Ω= 1, то
P(A) = mes A =
]]]
A
dx dy dz =
=
]]
x+y⩽1
x+y>1
x+y
]
0
dz

dx dy +
]]
 1
]
0
dz

dx dy =
=
1
]
1
]
1
]
1−x
]
x+y
]
1
]
0
dz =
0
dx
0
dy
0
dz +
0
dx
1−x
dy
=
1−x
]
1
]
1
]
1
]
0
(x + y) dy +
0
dx
0
dx
1−x
dy =
=
1
]
1
]
0
x dx =
0
2 (1 −x)2
dx +

x(1 −x) + 1
= 1
1
]
2
2 = 1
2
3
2 = 5
6 .
0
(1 −x)(x + 1) dx + 1

1 −1

+ 1
x
]
1
]
x
]
y
]
P(B) = mes B =
]]]
1
]
0
y dy =
0
dx
0
dy
0
dz =
0
dx
B
dx dy dz =
x2
=
1
]
2 dx = x3
6
6 .
0 = 1
0
1
Аб с ол ют н о
н е п ре ры в н а я
ве роя т н о с т н ая
м од ел ь.
В качестве множества элементарных исходов Ωрассматривается
действительная прямая R, событиями считаем борелевские подмножества R. Вероятность событий в этой модели задается с помощью функции плотности вероятностей p(x), т. е. неотрицательной
7

Рис. 3
Рис. 4
функции, интегрируемой на всем R так, что
+∞
]
−∞
p(x) dx = 1. Вероятность события A ∈A полагают равной P(A) =
]
A
p(x) dx.
Пример 5. Рассмотрим функцию плотности нормального (гауссовского) распределения
fa,  (x) =
1
√
2
 2
2
p 
exp

−(x −a)2

,
зависящую от двух параметров a ∈R и
 > 0. В случае a = 0,
 = 1
плотность называют стандартной гауссовской.
Проверим широкоизвестное правило «трех
 »: вероятность выпадения значения, по модулю отстоящего от a далее 3
 , мала и равна 0,003.
Решение. Согласно определению, искомая вероятность равна
x −a
 
= y
]


dx
1
√
2
 2
2
p 
exp

−(x −a)2

dx =
|x−a|>3
 
 = dy



=
=
]
1
√
2
2
p
exp

−y2

dy = 2Φ(−3) ≈0,003.
|y|>3
8