Дифференциальные уравнения первого порядка

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 
 
 
 
 
И.Е. Кандаурова, В.В. Миткин, С.И. Шишкина 
 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
ПЕРВОГО ПОРЯДКА 
 
 
 
 
Методические указания к решению задач 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2008 
 

УДК 517.9 
ББК 22.161.6 
К192 
 
 
 
 
 
 
Рецензент В.Ю. Чуев 
 
Кандаурова И.Е., Миткин В.В., Шишкина С.И. 
 
К192 
Дифференциальные уравнения первого порядка: Метод. указания к решению задач. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2008. 48 с.: ил.  
Рассмотрены методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Даны краткие теоретические 
сведения, приведены примеры решения уравнений, а также задачи 
для самостоятельного решения. 
Для студентов 1-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
 
 
 
 
УДК 517.9 
 ББК 22.161.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008 
 
2 

ВВЕДЕНИЕ  
С решениями дифференциальных уравнений связано огромное 
количество задач физики, механики, химии, биологии и других 
наук.  
Формально решение дифференциального уравнения представляет собой задачу обратную дифференцированию. К простейшему 
уравнению такого вида приводит задача поиска первообразной некоторой заданной функции 
( )
f x . Задачу можно записать следующим 
образом: 
( )
=
dy
f x
dx
. Это уравнение содержит первую производную 
неизвестной функции и представляет собой простейшее дифференциальное уравнение. В физике решение подобных уравнений связано 
с задачами определения координаты при заданной скорости в случае 
одномерного движения, описания процесса разрядки конденсатора 
через активное сопротивление, определения остатка радиоактивного 
элемента и многими другими. 
В данных методических указаниях рассматриваются традиционные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, связывающих искомую функцию, независимую переменную и 
первую производную от искомой функции. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями первого порядка. Их 
изучение представляет особый интерес как для освоения методов 
решения простейших дифференциальных уравнений, так и для анализа более сложных уравнений, которые различными математическими приемами могут быть сведены к уравнениям первого порядка. 
 
3 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида 
 
(
)
, ,
0
=
′
F x y y
, 
(1.1) 
которое связывает независимую переменную х, неизвестную функцию y  и ее первую производную 
dy
y
dx
′ =
. Предполагается, что F  – 
непрерывная вещественная функция вещественных аргументов.  
Если уравнение первого порядка имеет вид  
 
(
)
,
=
dy
f x y
dx
, 
(1.2) 
т. е. производная явно выражена через функцию и аргумент, то 
такое уравнение называется разрешенным относительно производной. 
Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция 
( )
= ϕ
y
x , которая при подстановке ее в уравнение (1.1) или (1.2) обратит его в тождество. Геометрически решение уравнения есть кривая на плоскости. График этой функции 
( )
y
x
= ϕ
 на плоскости (
)
,
x y  называется интегральной кривой. 
Процесс нахождения решения называется интегрированием 
дифференциального уравнения. Задача интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого 
уравнения и изучении их свойств. 
Общим 
решением 
уравнения 
(1.1) 
называется 
функция 
( ,
)
= ϕ
y
x C , зависящая от аргумента и одной произвольной константы 
∈
C
R , обращающая данное уравнение в тождество, причем 
различным значениям С соответствуют различные частные решения. Геометрически общее решение задает семейство интегральных 
кривых на плоскости. 
 
4 

Частным решением уравнения (1.1) обычно называют решение 
этого уравнения при конкретном значении параметра C . 
Если общее решение уравнения (1.2) задано в неявном виде 
(
)
, ,
0
Φ
=
x y C
 или (
)
,
ϕ
=
x y
C , то оно называется общим интегралом 
этого уравнения. Функция 
(
)
,
ϕ x y  при конкретном значении C  называется частным интегралом уравнения. 
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка формулируется следующим образом: найти решение 
( )
y
x
= ϕ
 
дифференциального уравнения 
(
)
,
y
f x y
′ =
, удовлетворяющее начальному условию 
 
( )
0
0
y x
y
=
, 
(1.3) 
где 
0
x  и 
0
y  – некоторые заданные числа. 
Геометрическая интерпретация задачи Коши: найти интегральную кривую дифференциального уравнения 
(
)
,
=
′
y
f x y , проходящую через точку (
)
0
0
,
x
y
. 
Теорема существования и единственности решения задачи 
Коши. Пусть функция 
(
)
,
f x y  непрерывна в некоторой области D 
плоскости 
,
x y  и имеет в этой области непрерывную частную производную 
f
y
∂
∂
, и пусть точка (
)
0
0
,
x
y
 принадлежит этой области. 
Тогда решение задачи Коши для уравнения (1.2) с начальными условиями (1.3) существует и единственно на некотором интервале 
0
0
−
<
<
+
x
h
x
x
h . 
Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной (1.2), связывает производную с координатами точки (
)
,
x y  на плоскости. Геометрически производная 
задает тангенс угла наклона α  касательной к интегральной кривой 
= ϕ( )
y
x  в точке (
)
,
x y  с положительным направлением оси Ox . 
Поэтому в каждой точке (
)
,
x y  области определения функции 
(
)
,
f x y  уравнение задает направление касательной к интегральной 
 
5