Введение в тензорный анализ

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 512.97(075.8)
ББК 22.151.5
Щ70
Рецензенты: А.М. Лукацкий, Н.Г. Хорькова
Щ70
Щетинин А. Н.
Введение в тензорный анализ : учеб. пособие / А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2012. — 35, [5] с. : ил.
Рассмотрены векторные и конвекторные поля, тензорные поля,
производная Ли, ковариантное дифференцирование, связность ЛевиЧивита, тензоры кручения и кривизны. Дано строгое изложение
аппарата
римановой
геометрии.
Приведено
домашнее
задание,
включающее 24 варианта типовых расчетных заданий.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ».
УДК 512.97(075.8)
ББК 22.151.5
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ВВЕДЕНИЕ
В пособии введено и проанализировано понятие тензорного поля (тензора). В пространстве Rn рассматриваются только линейная
и дифференцируемая структуры. Используя понятие касательного
пространства Tx(Rn) в точке x, можно ввести тензоры в таких пространствах. Задать тензорное поле — это значит выбрать в каждом
из касательных пространств Tx(Rn) тензор одного и того же типа.
Координаты тензора должны изменяться при переходе к другой
точке дифференцируемым образом. Тензорные поля можно дифференцировать с помощью производной Ли. Для ее построения не
требуется вводить никаких новых структур.
Дифференцировать тензорные поля можно также с помощью
линейной связности. Если в пространстве Rn задана метрика, то
существует единственная линейная связность без кручения, согласованная с этой метрикой. Говоря о ковариантной производной,
имеют в виду обычно эту линейную связность — связность ЛевиЧивита.
Если рассматривать поверхности в трехмерном пространстве
(R3), то для таких поверхностей однозначно определена первая
квадратичная форма, задающая метрику. По метрике однозначно
определяется линейная связность (символы Кристоффеля), что позволяет дифференцировать тензорные поля на таких поверхностях.
Если задать параметризацию поверхности, все сводится к случаю
обычного двумерного пространства R2, в котором фиксирована
криволинейная система координат.
Для более глубокого изучения материала следует ознакомиться
с работами [1— 4].
Основная цель пособия — научить студента двум алгебраическим процедурам: правилу суммирования Эйнштейна и правилу
дифференцирования тензоров.

1. ВЕКТОРНЫЕ И КОВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Пространство
R3
рассмотрим
как
множество
векторов
(x1, x2, x3). Числа x1, x2, x3 суть координаты вектора в декартовой ортогональной системе координат, и никакие другие
системы координат пока не вводим.
Пусть x ∈R3. Множество Tx(R3) всех векторов с началом в
точке x наделяется естественной структурой векторного пространства, называемого касательным пространством в точке x. При
этом каждому вектору v, выходящему из начала координат, отвечает равный ему вектор vx ∈Tx(R3) с началом в точке x. Многие
структуры, имеющиеся в пространстве R3, без труда переносятся в
пространствo Tx(R3): скалярное произведение, ориентация и т. д.
Пусть e1, e2, e3 — стандартный базис в пространстве R3 (в курсе
аналитической геометрии он обозначался i, j, k). Тогда векторы
(e1)x, (e2)x, (e3)x образуют базис касательного пространства в
точке x (рис. 1.1∗).
Зафиксируем в каждом касательном пространстве Tx(R3) по
вектору. Тогда получим векторное поле. Более точно: векторное
поле — это функция X, относящая каждой точке x ∈R3 вектор
X(x) ∈Tx(R3). Для каждого x существуют такие числа ξi(x), что
X(x) = ξi(x)(ei)x.
(1.
.1)
Функции ξi(x) будем считать гладкими (класса C∞).
При записи равенства (1.1) используется правило Эйнштейна:
если в формуле индекс встречается два раза (вверху и внизу), то это
означает суммирование. В случае пространства Tx(R3) формула
∗Все рисунки, приведенные в учебном пособии, относятся к случаю n = 2.
4