Введение в тензорный анализ
Введение в тензорный анализ: краткий обзор учебного пособия
Данное учебное пособие, разработанное для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, представляет собой вводный курс в тензорный анализ, охватывающий основные понятия и методы этой важной области математики. Цель пособия – познакомить студентов с ключевыми алгебраическими процедурами, лежащими в основе тензорного анализа: правилом суммирования Эйнштейна и правилом дифференцирования тензоров.
Основные понятия и структуры
Книга начинается с введения в векторные и ковекторные поля, рассматривая их в контексте пространства R3 и его касательных пространств. Подробно описываются операции над векторными полями, включая сложение, умножение на скаляр и дифференцирование. Вводится понятие ковекторного поля и его связь с дифференциалом функции. Рассматривается изменение координат векторных и ковекторных полей при переходе к криволинейным системам координат, а также действие отображений на эти поля.
Тензорные поля и их свойства
Основная часть пособия посвящена тензорным полям. Дается строгое определение тензора, рассматриваются тензорные поля различных типов и их координаты. Описываются операции над тензорными полями, такие как сложение, умножение на скаляр, тензорное произведение и свертка. Особое внимание уделяется тензорам в пространствах с метрикой, включая метрический тензор, операции поднятия и опускания индексов. Рассматривается действие отображений на тензорные поля и выводятся формулы для преобразования координат тензоров при переходе к другим системам координат.
Дифференцирование тензорных полей
В пособии подробно рассматривается дифференцирование тензорных полей, включая производную Ли. Вводится понятие фазового потока и его связь с векторными полями. Выводятся формулы для вычисления координат производной Ли для различных типов тензорных полей. Обсуждаются свойства производной Ли, включая ее связь с коммутатором векторных полей.
Ковариантная производная и связность Леви-Чивита
Ключевым понятием является ковариантная производная. Определяется ковариантная производная векторных полей и тензорных полей, а также рассматриваются ее свойства. Вводится понятие линейной связности и ее коэффициентов. Обсуждается параллельный перенос векторов вдоль кривой. Отдельное внимание уделяется связности Леви-Чивита, которая является единственной симметричной связностью, согласованной с метрикой. Выводятся формулы для вычисления коэффициентов связности Леви-Чивита (формулы Кристоффеля).
Заключение и практические задания
В заключение, пособие предоставляет обширный набор задач для самостоятельного решения, охватывающих все рассмотренные темы. Задачи включают в себя вычисление коммутаторов векторных полей, ковариантных производных, а также анализ тензорных полей на различных поверхностях.
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 01.03.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева ВВЕДЕНИЕ В ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2012
УДК 512.97(075.8) ББК 22.151.5 Щ70 Рецензенты: А.М. Лукацкий, Н.Г. Хорькова Щ70 Щетинин А. Н. Введение в тензорный анализ : учеб. пособие / А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. — 35, [5] с. : ил. Рассмотрены векторные и конвекторные поля, тензорные поля, производная Ли, ковариантное дифференцирование, связность ЛевиЧивита, тензоры кручения и кривизны. Дано строгое изложение аппарата римановой геометрии. Приведено домашнее задание, включающее 24 варианта типовых расчетных заданий. Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ». УДК 512.97(075.8) ББК 22.151.5 c ⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012
ВВЕДЕНИЕ В пособии введено и проанализировано понятие тензорного поля (тензора). В пространстве Rn рассматриваются только линейная и дифференцируемая структуры. Используя понятие касательного пространства Tx(Rn) в точке x, можно ввести тензоры в таких пространствах. Задать тензорное поле — это значит выбрать в каждом из касательных пространств Tx(Rn) тензор одного и того же типа. Координаты тензора должны изменяться при переходе к другой точке дифференцируемым образом. Тензорные поля можно дифференцировать с помощью производной Ли. Для ее построения не требуется вводить никаких новых структур. Дифференцировать тензорные поля можно также с помощью линейной связности. Если в пространстве Rn задана метрика, то существует единственная линейная связность без кручения, согласованная с этой метрикой. Говоря о ковариантной производной, имеют в виду обычно эту линейную связность — связность ЛевиЧивита. Если рассматривать поверхности в трехмерном пространстве (R3), то для таких поверхностей однозначно определена первая квадратичная форма, задающая метрику. По метрике однозначно определяется линейная связность (символы Кристоффеля), что позволяет дифференцировать тензорные поля на таких поверхностях. Если задать параметризацию поверхности, все сводится к случаю обычного двумерного пространства R2, в котором фиксирована криволинейная система координат. Для более глубокого изучения материала следует ознакомиться с работами [1— 4]. Основная цель пособия — научить студента двум алгебраическим процедурам: правилу суммирования Эйнштейна и правилу дифференцирования тензоров.
1. ВЕКТОРНЫЕ И КОВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Пространство R3 рассмотрим как множество векторов (x1, x2, x3). Числа x1, x2, x3 суть координаты вектора в декартовой ортогональной системе координат, и никакие другие системы координат пока не вводим. Пусть x ∈R3. Множество Tx(R3) всех векторов с началом в точке x наделяется естественной структурой векторного пространства, называемого касательным пространством в точке x. При этом каждому вектору v, выходящему из начала координат, отвечает равный ему вектор vx ∈Tx(R3) с началом в точке x. Многие структуры, имеющиеся в пространстве R3, без труда переносятся в пространствo Tx(R3): скалярное произведение, ориентация и т. д. Пусть e1, e2, e3 — стандартный базис в пространстве R3 (в курсе аналитической геометрии он обозначался i, j, k). Тогда векторы (e1)x, (e2)x, (e3)x образуют базис касательного пространства в точке x (рис. 1.1∗). Зафиксируем в каждом касательном пространстве Tx(R3) по вектору. Тогда получим векторное поле. Более точно: векторное поле — это функция X, относящая каждой точке x ∈R3 вектор X(x) ∈Tx(R3). Для каждого x существуют такие числа ξi(x), что X(x) = ξi(x)(ei)x. (1. .1) Функции ξi(x) будем считать гладкими (класса C∞). При записи равенства (1.1) используется правило Эйнштейна: если в формуле индекс встречается два раза (вверху и внизу), то это означает суммирование. В случае пространства Tx(R3) формула ∗Все рисунки, приведенные в учебном пособии, относятся к случаю n = 2. 4
Похожие