Вариационное исчисление

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана
Л.П. Паршев, А.В. Калинкин, А.В. Мастихин
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Методические указания
к выполнению типового расчета
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2010

УДК 517.97
ББК 22.161.8
П18
Рецензент В.И. Ванько
П18
Паршев Л.П.
Вариационное исчисление : метод. указания к выполнению
типового расчета / Л.П. Паршев, А.В. Калинкин, А.В. Мастихин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 53, [3] с. :
ил.
Представлены необходимые теоретические сведения и методические указания к решению задач по вариационному исчислению. Приведены соответствующие примеры, даны условия задач типового расчета.
Для студентов факультетов РК, ФН, МТ.
Методические указания рекомендованы Учебно-методической комиссией НУК ФН.
УДК 517.97
ББК 22.161.8
c
⃝МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

В вариационном исчислении изучаются методы исследования
функционалов на экстремум. В методических указаниях рассмотрены простейшая задача вариационного исчисления и некоторые
ее обобщения. Описаны прямые приближенные методы Эйлера
и Ритца. Для решения задач типового расчета также необходимо
обратиться к учебной литературе [1 — 6], где даны доказательства
используемых теорем.
1. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛА
Функционалом называется отображение J : M →R множества
функций M = {y(x)} на множество действительных чисел R;
обозначается J = J(y).
Метрическое пространство функций Cn[a; b]
Cn[a; b]
Cn[a; b]. В качестве
множества M будем рассматривать множество Cn[a; b] всех функций, для которых n-я производная y(n)(x) непрерывна при
x ∈[a; b]. В частности, C0[a; b] — функции, непрерывные на
отрезке [a; b]. Очевидно, что
C0[a; b] ⊃C1[a; b] ⊃. . . ⊃Cn[a; b].
Множество Cn[a; b] является линейным пространством, так
как выполнены свойства:
1) если y1, y2 ∈Cn[a; b], то y1 + y2 ∈Cn[a; b];
2) если y ∈Cn[a; b] и c ∈R, то cy ∈Cn[a; b].
Функционал L(y) является линейным, если выполнены свойства:
1) L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2), y1, y2 ∈Cn[a; b];
2) L(cy) = cL(y), y ∈Cn[a; b] и c ∈R.
П р и м е р 1. Функционалы на множествах C0[a; b] и C1[a; b]:
a
y(x) dx;
J1(y) =
Z b
3

a
J2(y) =
Z b
p
1 + y′2(x) dx;
J3(y) = y′(x0) + 3,
x0 ∈[a; b].
Функционалы J1(y) и J2(y) имеют геометрический смысл площади криволинейной трапеции (если y(x) ⩾0) и длины дуги графика функции y(x). Функционал J1(y) — линейный, функционалы
J2(y) и J3(y) не являются линейными.
Для функции y ∈Cn[a; b] вводится норма функции
i=0 max
x∈[a;b] |y(i)(x)|.
||y||n =
Xn
Вводится расстояние (метрика) между функциями
i=0 max
x∈[a;b] |y(i)
1 (x) −y(i)
2 (x)|,
ρn(y1, y2) =
Xn
y1(x), y2(x) ∈Cn[a; b].
Для неотрицательной функции ρn(y1, y2) выполнены свойства:
1) ρn(y1, y2) = 0 тогда и только тогда, когда y1 ≡y2;
2) ρn(y1, y2) = ρn(y2, y1) (симметрия);
3) ρn(y1, y2) ⩽ρn(y1, y3) + ρn(y3, y2) (неравенство треугольника).
В частности, расстояние нулевого порядка для непрерывных
функций
ρ0(y1, y2) = max
x∈[a;b] |y1(x) −y2(x)|,
y1(x), y2(x) ∈C0[a; b].
Для функции y∗(x) ∈C0[a; b]
ε-окрестностью нулевого порядка (сильной ε-окрестностью) называют множество функций
y(x) ∈C0[a; b], таких, что ρ0(y∗, y) < ε (ε > 0).
Для функций, имеющих непрерывную первую производную,
ρ1(y1, y2) = max
x∈[a;b] |y1(x) −y2(x)| + max
x∈[a;b] |y′
1(x) −y′
2(x)|,
y1(x), y2(x) ∈C1[a; b].
Для функции y∗(x) ∈C1[a; b]
ε-окрестностью первого порядка (слабой ε-окрестностью) называют множество функций
y(x) ∈C1[a; b], таких, что ρ1(y∗, y) < ε.
4

Рис. 1
На рис. 1 (случай а) изображены функции, близкие по расстоянию ρ0, но не близкие по расстоянию ρ1. На рис. 1, случай б,
изображены функции, близкие по расстоянию первого порядка.
Сильный и слабый экстремумы функционала. Функционал
J(y) имеет на функции y∗(x) локальный минимум (максимум), если
для всех функций y(x) из некоторой ε-окрестности y∗(x) выполняется неравенство
J(y∗(x)) ⩽J(y(x))
( J(y∗(x)) ⩾J(y(x)) ).
Экстремум (минимум или максимум) называется глобальным,
когда на функции y∗(x) достигается наименьшее или наибольшее значение функционала на всем множестве рассмативаемых
функций.
Выбирая ε-окрестность нулевого или первого порядка, получаем разные понятия экстремума. Если сравниваемые функции близки к y∗(x) по расстоянию ρ0 (принадлежат сильной окрестности
y∗(x)) и функционал J(y) на функции y∗(x) достигает локального
экстремума, то экстремум называется сильным; если сравниваемые
функции близки по расстоянию ρ1 (принадлежат слабой окрестности y∗(x)), то экстремум называется слабым.
Функции, близкие по расстоянию ρ1, близки и по расстоянию
ρ0, так как ρ0 ⩽ρ1; поэтому, если на y∗(x) достигается сильный
экстремум, то он будет и слабым (в случае сильного экстремума
не налагается условий на производные функций). Если на y∗(x)
достигается слабый экстремум, то сильного экстремума на этой
функции может не быть.
5

2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ
ЭКСТРЕМУМА. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДА
ЧА
В дифференциальном исчислении при решении задачи на экстремум функции
f(x) →extr
необходимым условием экстремума дифференцируемой в точке
x = x∗функции является условие f′(x∗) = 0 или равенство нулю
дифференциала
d
f|x=x∗= 0.
Подобным образом в вариационном исчислении при рассмотрении задачи
J(y) →extr
определяется вариация фунционала δJ, и необходимым условием
экстремума является равенство
δJ|y=y∗= 0.
Вариация функционала. Пусть функция y(x), x ∈[a; b],
принадлежит области определения функционала J(y). Вариацией
функции называют функцию δy(x) = ˜
y(x) −y(x); сравниваемая с
y(x) функция ˜
y(x) задается равенством ˜
y = y + δy. Заметим, что
δy′ = (δy)′ = ˜
y′ −y′, δy′′ = (δy)′′ = ˜
y′′ −y′′ и т. д.
Приращением функционала, соответствующим вариации δy,
является функционал
ΔJ = ΔJ(y(x), δy(x)) = J(y(x) + δy(x)) −J(y(x)).
Функционал J(y) называют дифференцируемым в точке y(x),
если при произвольной малой вариации δy(x) приращение функционала можно представить в виде
ΔJ = L(y(x), δy(x)) + β(y(x), δy(x)) ||δy||1,
где L(y(x), δy(x)) — линейный по δy функционал;
β(y(x), δy(x)) →0
при ||δy||1 →0, ||δy||1 — норма вариации функции. Для дифференцируемого функционала вариацией функционала в точке y(x) (или
сильным дифференциалом, или дифференциалом Фреше) называют главную часть приращения, линейную относительно δy(x),
δJ = δJ(y, δy) = L(y, δy).
6